约瑟夫森效应

由美国国家标准与技术研究院开发的约瑟夫森结阵列芯片，用作标准电压（图片来源：维基百科的Josephson effect词条

在物理学中，约瑟夫森效应 指的是当两个 超导体 相互接近、其间存在某种势垒或限制时出现的一种现象。该效应以英国物理学家 布赖恩·约瑟夫森 的名字命名；他在1962年预测了跨越弱连接处电流与电压之间的数学关系。 它是一个 宏观量子现象 的例子，即量子力学效应可在普通（而非原子）尺度上被观测到。约瑟夫森效应具有许多实际应用，因为它在不同物理量（如电压与频率）之间呈现精确关系，从而促进了高精度测量。

约瑟夫森效应会产生一种称为 超电流 的电流，它在不施加任何电压的情况下，可跨越一种称为 约瑟夫森结（JJ）的器件持续流动。显然，它不可能在一段不再回到起点的金属中永远向前推动电流，因为这会建立起抵抗电流的电压。这种器件由两个或更多超导体通过一个弱连接耦合而成。该弱连接可以是一层很薄的绝缘势垒（称为 超导体—绝缘体—超导体结，或 S–I–S）、一小段非超导金属（S–N–S），或在接触点削弱超导性的物理收缩（S–c–S）。

约瑟夫森结在 量子力学电路 中具有重要应用，例如 SQUID、超导量子比特 和 RSFQ数字电子学。一伏特的NIST标准是通过将 20,208 个约瑟夫森结串联成阵列 实现的。

注：本词条主要部分翻译自维基百科的“Josephson Effect”词条

历史

蒙德实验室大楼

在1962年之前，直流约瑟夫森效应已在实验中被观测到， 但当时被归因于“超短路”或绝缘势垒的破损，导致超导体之间电子的直接传导。

1962年，布赖恩·约瑟夫森对超导隧穿产生了兴趣。当时他23岁，是剑桥大学蒙德实验室中Brian Pippard门下的二年级研究生。那一年，约瑟夫森选修了Philip W. Anderson开设的多体理论课程，安德森是来自贝尔实验室、在1961—1962学年休假的雇员。该课程向约瑟夫森介绍了超导体中的对称性破缺思想，他“为对称性破缺的概念所着迷，并思考是否有办法在实验上观测到它”。约瑟夫森研究了Ivar Giaever和Hans Meissner的实验，以及Robert Parmenter的理论工作。Pippard起初认为隧穿效应可能存在，但会小到难以察觉；然而约瑟夫森并不同意，尤其是在安德森向他展示了由Marvin L. Cohen、Leopoldo Máximo Falicov和Phillips撰写、关于超导体—势垒—正常金属体系的“Superconductive Tunneling”预印本论文之后。

起初，约瑟夫森和同事们对他计算的正确性并不确定。安德森后来回忆说：

我们所有人———约瑟夫森、Pippard和我，以及其他一些也常在蒙德实验室茶歇时参与接下来几周讨论的人——都对“电流依赖相位这一事实的意义”感到非常困惑。

经过进一步审查，他们得出结论认为约瑟夫森的结果是正确的。随后，约瑟夫森于1962年6月向《Physics Letters》投稿“Possible new effects in superconductive tunnelling”。由于对结果心存疑虑，他们选择了较新的《Physics Letters》杂志而非更为成熟的《Physical Review Letters》。约翰·巴丁当时已是诺贝尔奖得主，他在1962年最初公开对约瑟夫森的理论持怀疑态度，但在进一步的实验与理论澄清后接受了该理论。另见：约瑟夫森效应之争。

1963年1月，安德森与其贝尔实验室的同事John Rowell向《Physical Review Letters》提交了第一篇宣称在实验中观测到了约瑟夫森效应的论文——“Probable Observation of the Josephson Superconducting Tunneling Effect”。 这些作者随后获得了专利， 但从未被执行，也从未受到质疑。

在约瑟夫森的预言之前，人们只知道单个（即未成对的）电子可以通过量子隧穿穿越绝缘势垒。约瑟夫森是第一个预言超导库珀对会发生隧穿的人。因为这项工作，约瑟夫森于1973年获得了诺贝尔物理学奖。 约翰·巴丁是提名者之一。

应用

约瑟夫森结的电气符号

约瑟夫森结的类型包括φ 约瑟夫森结（其中π 约瑟夫森结是一个特殊例子）、长约瑟夫森结以及超导隧穿结。其他用途包括：

• “Dayem 桥”是一种薄膜约瑟夫森结，其中弱连接由一根长度为几微米或更短的超导导线构成。
• 约瑟夫森结数量可作为衡量超导电子电路复杂度的代理变量
• SQUID（超导量子干涉器）是通过约瑟夫森效应工作的高灵敏度磁强计
• 超流氦量子干涉器（SHeQUID）是直流 SQUID 的超流体氦类比物
• 在精密计量学中，约瑟夫森效应提供了在频率与电压之间可复现实验的换算。约瑟夫森电压标准利用铯原子标准对频率的定义来给出伏特的标准表达
• 单电子晶体管常以超导材料制成，称为“超导单电子晶体管”。
• 基础电荷最精确的测量可通过约瑟夫森常数和与量子霍尔效应相关的冯·克里青常数来实现
• RSFQ数字电子学基于并联阻尼的约瑟夫森结。结的开关会发射一个磁通量子 [math]\displaystyle{ \scriptstyle\frac{1}{2 e}h }[/math]。其可以无分别表示二进制 1 和 0。
• 超导量子计算在量子比特中使用约瑟夫森结作为非线性电感元件，例如transmon、磁通量子比特等方案，其中相位与电荷为共轭变量。
• 超导隧穿结探测器用于超导相机

约瑟夫森方程

单个约瑟夫森结的示意图。A 与 B 表示超导体，C 为它们之间的弱连接。

约瑟夫森效应可用量子力学来计算。右图给出了单个约瑟夫森结的示意图。设超导体 A 的金兹堡–朗道理论（Ginzburg–Landau theory）序参量为 [math]\displaystyle{ \psi_A=\sqrt{n_A}e^{i\phi_A} }[/math]，超导体 B 的为 [math]\displaystyle{ \psi_B=\sqrt{n_B}e^{i\phi_B} }[/math]，它们可被解释为两个超导体中库珀对的波函数。若结两端的电势差为 [math]\displaystyle{ V }[/math]，则两超导体之间的能量差为 [math]\displaystyle{ 2eV }[/math]，因为每个库珀对带有两个电子的电荷。因此，这个双能级量子系统的薛定谔方程为：

[math]\displaystyle{ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A}e^{i\phi_A} \\ \sqrt{n_B}e^{i\phi_B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} eV & K \\ K & -eV \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{n_A}e^{i\phi_A} \\ \sqrt{n_B}e^{i\phi_B} \end{pmatrix}, }[/math]

其中常数 [math]\displaystyle{ K }[/math] 是该结的特征量。为求解上述方程，先计算超导体 A 中序参量的时间导数：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} (\sqrt{n_A}e^{i\phi_A})=\dot{ \sqrt{n_A}}e^{i\phi_A}+\sqrt{n_A} (i \dot \phi_A e^{i\phi_A})=(\dot{\sqrt{n_A}}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A} , }[/math]

因此由薛定谔方程得到：

[math]\displaystyle{ (\dot{\sqrt{n_A}}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A) e^{i\phi_A} =\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}e^{i\phi_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\phi_B}). }[/math]

跨结的金兹堡–朗道序参量的相位差称为约瑟夫森相位：

[math]\displaystyle{ \varphi=\phi_B-\phi_A. }[/math] 因而薛定谔方程可改写为：

[math]\displaystyle{ \dot{\sqrt{n_A}}+ i \sqrt{n_A} \dot \phi_A =\frac{1}{i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}), }[/math]

其复共轭方程为：

[math]\displaystyle{ \dot{\sqrt{n_A}}- i \sqrt{n_A} \dot \phi_A =\frac{1}{-i\hbar}(eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}). }[/math]

将两式相加以消去 [math]\displaystyle{ \dot \phi_A }[/math]：

[math]\displaystyle{ 2\dot{\sqrt{n_A}}=\frac{1}{i\hbar}(K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}-K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi})=\frac{K\sqrt{n_B}}{\hbar} \cdot 2\sin \varphi. }[/math]

由于 [math]\displaystyle{ \dot{\sqrt{n_A}}=\frac{\dot n_A}{2\sqrt{n_A}} }[/math]，得到：

[math]\displaystyle{ \dot n_A=\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi. }[/math]

再将两式相减以消去 [math]\displaystyle{ \dot{\sqrt{n_A}} }[/math]：

[math]\displaystyle{ 2i \sqrt{n_A} \dot \phi_A =\frac{1}{i\hbar}(2eV\sqrt{n_A}+K\sqrt{n_B}e^{i\varphi}+K\sqrt{n_B}e^{-i\varphi}), }[/math]

从而有：

[math]\displaystyle{ \dot \phi_A =-\frac{1}{\hbar}(eV+K\sqrt{\frac{n_B}{n_A}}\cos \varphi). }[/math]

类似地，对超导体 B 可得：

[math]\displaystyle{ \dot n_B=-\frac{2K\sqrt{n_An_B}}{\hbar}\sin \varphi , \, \dot \phi_B =\frac{1}{\hbar}(eV-K\sqrt{\frac{n_A}{n_B}}\cos \varphi). }[/math]

注意到约瑟夫森相位的演化为 [math]\displaystyle{ \dot \varphi=\dot \phi_B-\dot \phi_A }[/math]，而载流子密度的时间导数 [math]\displaystyle{ \dot n_A }[/math] 与电流 [math]\displaystyle{ I }[/math] 成正比，当 [math]\displaystyle{ n_A \approx n_B }[/math] 时，上述解给出约瑟夫森方程：

[math]\displaystyle{ I(t) = I_c \sin (\varphi (t)) }[/math]

(1)

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \varphi}{\partial t} = \frac{2 e V(t)}{\hbar} }[/math]

(2)

其中 [math]\displaystyle{ V(t) }[/math] 与 [math]\displaystyle{ I(t) }[/math] 分别是约瑟夫森结两端的电压与通过结的电流，[math]\displaystyle{ I_c }[/math] 为该结的参数，称为临界电流。式（1）称为第一约瑟夫森关系或弱连接电流—相位关系；式（2）称为第二约瑟夫森关系或超导相位演化方程。约瑟夫森结的临界电流取决于超导体的性质，也会受温度、外加磁场等环境因素影响。

约瑟夫森常数定义为：

[math]\displaystyle{ K_J=\frac{2 e}{h}\, }[/math]

其倒数为磁通量子：

[math]\displaystyle{ \Phi_0=\frac{h}{2 e}=2 \pi \frac{\hbar}{2 e}\,. }[/math]

超导相位演化方程可改写为：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \varphi}{\partial t} = 2 \pi [K_JV(t)] = \frac{2 \pi}{\Phi_0}V(t) \,. }[/math]

若定义：

[math]\displaystyle{ \Phi=\Phi_0\frac{\varphi}{2 \pi}\,, }[/math]

则结两端的电压为：

[math]\displaystyle{ V=\frac{\Phi_0}{2 \pi}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{d\Phi}{dt}\,, }[/math]

这与法拉第电磁感应定律非常相似。但需注意，此电压并非源自磁能，因为在超导体内不存在磁场；相反，它来自载流子（即库珀对）的动能。该现象也称为动能电感。

三个主要效应

超导隧穿结（常见的约瑟夫森结）典型的 I–V 特性。纵轴刻度为 50 μA，横轴刻度为 1 mV。[math]\displaystyle{ V = 0 }[/math] 处的条带表示直流约瑟夫森效应，而在较大 [math]\displaystyle{ \left| V \right| }[/math] 下出现的电流源于超导体带隙的有限值，因而不由上述方程再现。

根据约瑟夫森方程，约瑟夫森预言了三个直接得到的主要效应：

直流约瑟夫森效应

由于 量子隧穿，在没有任何外部电磁场的情况下，直流电流可跨越绝缘层。该直流约瑟夫森电流与约瑟夫森相位的正弦成正比（绝缘层两侧的相位差，且随时间保持不变），其取值范围在 [math]\displaystyle{ -I_c }[/math] 到 [math]\displaystyle{ I_c }[/math] 之间。

交流约瑟夫森效应

当结两端加上固定电压 [math]\displaystyle{ V_{DC} }[/math] 时，相位将随时间线性变化，电流成为幅值为 [math]\displaystyle{ I_c }[/math]、频率为 [math]\displaystyle{ K_J V_{DC} }[/math] 的正弦交流（AC）电流。这意味着约瑟夫森结可充当理想的电压到频率转换器。

逆交流约瑟夫森效应

当约瑟夫森结受到单一 角频率 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 的微波辐照时，可在结上诱导量子化的直流电压， 此时约瑟夫森相位取形式 [math]\displaystyle{ \varphi (t) = \varphi_0 + n \omega t + a \sin(\omega t) }[/math]，结上的电压与电流为： [math]\displaystyle{ V(t) = \frac{\hbar}{2 e} \omega ( n + a \cos( \omega t) ), \text{与 } I(t) = I_c \sum_{m = -\infty}^\infty J_m (a) \sin (\varphi_0 + (n + m) \omega t), }[/math]

其直流分量为： [math]\displaystyle{ V_\text{DC} = n \frac{\hbar}{2 e} \omega, \text{ 与 } I_\text{DC} = I_c J_{-n} (a) \sin \varphi_0. }[/math]

这意味着约瑟夫森结可充当理想的频率到电压的转换器， 这是约瑟夫森电压标准的理论基础。

约瑟夫森电感

当电流与约瑟夫森相位随时间变化时，结两端的电压降也将相应变化；如下推导所示，约瑟夫森关系决定了这种行为可由一种称为约瑟夫森电感的动能电感来建模。

将约瑟夫森关系改写为：

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{\partial I}{\partial \varphi} &= I_c\cos\varphi,\\ \frac{\partial \varphi}{\partial t} &= \frac{2\pi}{\Phi_0}V. \end{align} }[/math]

现在，应用链式法则计算电流的时间导数：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial I}{\partial t} = \frac{\partial I}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=I_c\cos\varphi\cdot\frac{2\pi}{\Phi_0}V, }[/math]

将上述结果整理为电感的电流—电压特性形式：

[math]\displaystyle{ V = \frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\varphi} \frac{\partial I}{\partial t}=L(\varphi)\frac{\partial I}{\partial t}. }[/math]

这给出了动能电感关于约瑟夫森相位的表达式：

[math]\displaystyle{ L(\varphi) = \frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\varphi} = \frac{L_J}{\cos\varphi}. }[/math]

其中，[math]\displaystyle{ L_J=L(0)=\frac{\Phi_0}{2\pi I_c} }[/math] 是约瑟夫森结的特征参数，称为约瑟夫森电感。

需注意，尽管约瑟夫森结的动力学行为与电感相似，但并不伴随磁场。此行为源自载流子（电荷载流子）的动能，而非磁场能量。

约瑟夫森能量

基于约瑟夫森结与非线性电感的相似性，当有超电流流过时，约瑟夫森结中所储存的能量可以被计算出来。

流经结的超电流与约瑟夫森相位通过电流—相位关系（CPR）相关：

[math]\displaystyle{ I = I_c \sin\varphi. }[/math]

超导相位演化方程可以类比为法拉第定律：

[math]\displaystyle{ V=\operatorname{d}\!\Phi/\operatorname{d}\!t\,. }[/math]

设在时刻 [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] 时，约瑟夫森相位为 [math]\displaystyle{ \varphi_1 }[/math]；在较晚的时刻 [math]\displaystyle{ t_2 }[/math]，约瑟夫森相位演化到 [math]\displaystyle{ \varphi_2 }[/math]。结中能量的增加等于对结所做的功：

[math]\displaystyle{ \Delta E = \int_1^2 I V\,\operatorname{d}\!{t} = \int_{1}^{2} I\,\operatorname{d}\!\Phi = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} I_c\sin \varphi \,\operatorname{d}\!\left(\Phi_0\frac{\varphi}{2\pi}\right) = -\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}\,\Delta\!\cos\varphi\,. }[/math]

这表明，约瑟夫森结中能量的变化仅依赖于结的初态与终态，而不依赖于热力学过程路径。因此，储存在约瑟夫森结中的能量是一个状态函数，可定义为：

[math]\displaystyle{ E(\varphi)=-\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}\cos\varphi=-E_J\cos\varphi\,. }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ E_J = |E(0)|=\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} }[/math] 是约瑟夫森结的特征参数，称为约瑟夫森能量。它与约瑟夫森电感的关系为 [math]\displaystyle{ E_J = L_J I_c^2 }[/math]。另一个等价的常用定义是 [math]\displaystyle{ E(\varphi)=E_J(1-\cos\varphi) }[/math]。

再次注意，非线性线圈电感在电流通过时，会在其磁场中积累势能；然而，对于约瑟夫森结，超电流并不会产生磁场——储存的能量来自载流子的动能。

RCSJ 模型

电阻-电容并联结（RCSJ，Resistively Capacitance Shunted Junction）模型，或称并联分流结模型，在上述两条基本约瑟夫森关系之上，纳入了实际约瑟夫森结的交流阻抗效应。

根据特文南定理，结的交流阻抗可由一个电容与一个分流电阻来表征，它们与理想的约瑟夫森结并联。因此，外加驱动电流 [math]\displaystyle{ I_\text{ext} }[/math] 的完整表达式为：

[math]\displaystyle{ I_\text{ext} = C_J \frac{\operatorname{d}\!V}{\operatorname{d}\!t} + I_c \sin \varphi + \frac{V}{R}, }[/math]

其中第一项为位移电流，对应有效电容 [math]\displaystyle{ C_J }[/math]；第三项为正常电流，对应结的有效电阻 [math]\displaystyle{ R }[/math]。

约瑟夫森穿透深度

约瑟夫森穿透深度表征外加磁场在长约瑟夫森结中穿透的典型长度。通常记作 [math]\displaystyle{ \lambda_J }[/math]，其（SI 制）表达式为：

[math]\displaystyle{ \lambda_J=\sqrt{\frac{\Phi_0}{2\pi\mu_0 d' j_c}}, }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ \Phi_0 }[/math] 为磁通量子，[math]\displaystyle{ j_c }[/math] 为临界超电流密度（A/m²），[math]\displaystyle{ d' }[/math] 则表征超导电极的电感。

[math]\displaystyle{ d'=d_I +\lambda_1 \tanh\left(\frac{d_1}{2\lambda_1}\right) +\lambda_2 \tanh\left(\frac{d_2}{2\lambda_2}\right), }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ d_I }[/math] 为约瑟夫森势垒（通常为绝缘体）的厚度，[math]\displaystyle{ d_1 }[/math] 与 [math]\displaystyle{ d_2 }[/math] 为超导电极的厚度，[math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math] 与 [math]\displaystyle{ \lambda_2 }[/math] 为其各自的伦敦穿透深度。当临界电流密度很低时，约瑟夫森穿透深度通常从数个微米（μm）到数毫米不等。

约瑟夫森结等价电路与其中的非线性动力学

约瑟夫森结等价电路

因为公式(1) 只适用于由电子对携带的超电流。一般来说，穿过结的总电流还会包含位移电流和普通电流的贡献。将位移电流用电容器表示、普通电流用电阻器表示，我们就得到右图所示的等效电路，这一电路最早由 Stewart（1968）和 McCumber（1968）分析。

现在我们应用基尔霍夫的电压定律和电流定律。对于这个并联电路，各支路上的电压降必须相等，因此所有电压都等于结上的电压[math]\displaystyle{ V }[/math]。于是，通过电容器的电流等于[math]\displaystyle{ C \dot{V} }[/math]，通过电阻的电流等于[math]\displaystyle{ V/R }[/math]。这些电流与超电流 [math]\displaystyle{ (I_c \sin\phi }[/math] 的总和必须等于偏置电流[math]\displaystyle{ I }[/math]；因此

[math]\displaystyle{ C\dot{V} + \frac{V}{R} + I_c \sin\phi = I. }[/math]

结合公式(1)和公式(2)，可以得到：

[math]\displaystyle{ \frac{\hbar C}{2e}\ddot{\phi} + \frac{\hbar}{2eR}\dot{\phi} + I_c \sin\phi = I, }[/math]

(3)

该方程就是描述约瑟夫森电路的动力学公式，这是一个关于相角[math]\displaystyle{ \phi }[/math]的二阶微分方程，我们可以通过定义变量[math]\displaystyle{ \psi=\dot{\phi} }[/math]把它转化为一个动力系统，该动力系统展现出了广泛的非线性特性。

方程简化

方程(3)式可以进一步简化为如下二阶微分方程的形式：

[math]\displaystyle{ \frac{d^2\phi}{d\tau^2}+\alpha\frac{d\phi}{d\tau^2}+\sin\phi=i, }[/math]

(4)

其中，[math]\displaystyle{ \tau=\left(\frac{2eI_c}{\hbar C}\right)^{1/2}t, i=\frac{I}{I_c}, \alpha=\left(\frac{\hbar}{2eI_cR^2C}\right)^{1/2} }[/math]

如果令[math]\displaystyle{ y=d\phi/d\tau }[/math]，那么，方程(3)式可以变换为一个二维微分动力系统：

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} \frac{d\phi}{d\tau}&=y,\\ \frac{dy}{d\tau}&=i-\sin\phi-\alpha y \end{aligned} }[/math]

(5)

值得注意的是，式(5)也可以看作是一个描述阻尼振子的动力学方程。下面，我们主要研究该方程的性质。

非线性行为

(5)式是一个圆柱面上的动力学，可以在不同参数下展示出不同的非线性行为。

例如，当[math]\displaystyle{ \alpha=0.1,i=0.1 }[/math]的时候，系统的动力学行为可以用一张柱面上的向量场图来加以展示，其中横坐标为相位[math]\displaystyle{ \phi }[/math]，纵坐标为[math]\displaystyle{ y }[/math]，向量场中每一个小箭头代表该点处的运动方向。竖直的虚线所处的横坐标位置代表系统中存在的不动点（通过求解[math]\displaystyle{ i-\sin\phi-\alpha y=0 }[/math]与[math]\displaystyle{ y=0 }[/math]而得出），蓝色的实现代表从某一个初始值位置开始的运动轨迹。可以看出，该情况下，系统有一个吸引子不动点，还有一个鞍点。另外，系统在较大的y位置，还存在着极限环。

通过系统性地探究参数空间和不动点的情况，我们可以得到相图：

该图显示，系统的相会被两条线分成了三个区域，这两条线对应了不同的分岔点。三个区域分别是：稳定的极限环、稳定的不动点和双稳态。其中，较粗的实线代表了同宿分岔点，在其上，系统处于一个稳定的不动点，和一个极限环共存的双稳态。在实线的下方则只有一个稳定的不动点，极限环与鞍点合并。实线之上，为稳定极限环。虚线代表鞍点存在与否的分岔线。

除此之外，该系统还存在着迟滞现象，这体现为电压的平均值随电流的变化（增大或减小）呈现出不对称性。

其中横坐标是电流，纵坐标为一个周期内的平均电压。当电流稳步缓慢增大的时候，平均电压在i=1的地方产生突变（虚线处）；然而当电流稳步缓慢减少的时候，则平均电压会在[math]\displaystyle{ I_c }[/math]处突然跌落，两条曲线不重合，这就是迟滞现象。

从动力学上来讲，假设[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]是小的，且[math]\displaystyle{ i }[/math]值最初是低于同宿分岔的，那么交点在稳定不动点处产生，对应着零电压状态。随着i增加并未发生任何变化，直到i超过1。此时，稳定不动点在鞍-结分岔处消失，而且相交点跳跃到一个非零电压状态。

如果i返回变小，在低于i=1的区域，极限环一直存在。但随着逐渐接近于[math]\displaystyle{ I_c }[/math]，它的频率连续地趋于0，这就体现为上图。

该现象可以用如下的代码来复现。

Q = 10;            (*品质因子，即阻尼大小*)
tt = 500;          (*积分时间*)
cycle = 2 Pi;
phiInit = {0, 0};

(*向上扫描*)
upData = 
  Reap[Do[sln = 
      NDSolve[{phi''[t] + (1/Q) phi'[t] + Sin[phi[t]] == i, 
        phi[0] == phiInit[[1]], phi'[0] == phiInit[[2]]}, 
       phi, {t, 0, tt}];
     fn = phi /. sln[[1]];
     avg = NIntegrate[fn'[t], {t, tt - cycle, tt}]/cycle;
     Sow[{i, avg}];
     (*更新初始条件为上一次的终点，保持连续演化*)
     phiInit = {fn[tt], fn'[tt]};, {i, 0, 3, 0.1}]][[2, 1]];

(*再从大到小扫描*)
downData = 
  Reap[Do[(*类似过程，但i从大到小*)
     sln = NDSolve[{phi''[t] + (1/Q) phi'[t] + Sin[phi[t]] == i, 
        phi[0] == phiInit[[1]], phi'[0] == phiInit[[2]]}, 
       phi, {t, 0, tt}];
     fn = phi /. sln[[1]];
     avg = NIntegrate[fn'[t], {t, tt - cycle, tt}]/cycle;
     Sow[{i, avg}];
     phiInit = {fn[tt], fn'[tt]};, {i, 3, 0, -0.1}]][[2, 1]];

ListPlot[{upData, downData}, Joined -> True, PlotStyle -> {Red, Blue},
  FrameLabel -> {"I/Ic", "平均 φ̇"}]

与2025年诺贝尔物理学奖的关系

注：本小节文字有GPT5生成与人工校验完成

2025年10月6日，诺贝尔物理学奖授予了约翰·克拉克（John clarke）、米歇尔·H·德沃雷（Michel H. Devoret）与约翰·M·马丁尼斯（John M. Martinis），表彰他们在超导电路中首次于宏观尺度清晰展示量子隧穿与能量量子化：通过约瑟夫森结将数十亿库珀对作为“单一量子系统”加以操控与测量，他们在手持芯片上观测到零电压态经隧穿转为有电压态，并以微波激发验证离散能级结构。该成果不仅拓展了“量子效应能大到何种尺度”的基本边界，也为超导量子比特、量子计算、量子传感与量子通信等下一代量子技术奠定关键实验基础。

获奖者的关键发现正是依托约瑟夫森效应在超导电路中实现和放大的。

约瑟夫森效应提供了核心元件与两条基本关系

约瑟夫森结（两超导体间的弱连接）满足两条关系：

• 电流—相位关系：

[math]\displaystyle{ I = I_c \sin\varphi }[/math]

• 电压—相位演化：

[math]\displaystyle{ V = \frac{\Phi_0}{2\pi}\,\dot{\varphi} }[/math]

这使得一个含约瑟夫森结的超导回路具有非线性、可量子化的“人工原子”势能形状（例如 RCSJ 模型下的“倾斜洗衣板势”（Tilted Josephson washboard potential））。

宏观量子效应的“舞台”由约瑟夫森结搭建

在含约瑟夫森结的电路中，参与集体运动的是“数十亿对库珀对的共同相位” [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]，这是一个可视为单一量子自由度的宏观变量。

这种电路的势能曲线呈周期性势阱，可以产生离散能级与量子隧穿通道：

• 能级量子化：微波激发只在离散能级间跃迁，表现为吸收/辐射固定频率的光子。
• 宏观量子隧穿（MQT）：相位粒子从势阱经隧穿“逃逸”，对应电路从零电压态跃迁到有限电压态，可用统计方法测得逃逸率与寿命。

他们的实验验证“约瑟夫森电路的量子性”

借助约瑟夫森结的非线性与无耗散超导特性，研究者在芯片上清晰地观测到：从零电压超导态到电压态的“量子隧穿触发”转换（非经典逃逸机制）。用微波谱学解析到的离散能级结构（直接证明能量量子化）。这些现象若无约瑟夫森效应就不会在电路层面出现或难以操控与读出。

对后续量子技术的奠基作用

约瑟夫森结让电路具备“非线性且可相干”的量子自由度，进而形成各类超导量子比特（如相位、通量、电荷、Transmon 量子比特等）。

获奖者的工作把约瑟夫森效应从“微观隧穿的预测/验证”，推进为“宏观量子动力学的可控平台”，成为量子计算、量子传感与量子读出的核心物理与工程基础。

总结来看: 约瑟夫森效应是实现非线性、可量子化超导电路的根本机理；他们的研究则在这一平台上首次以清晰、可测的方式展示了宏观量子隧穿与能级量子化，证明了约瑟夫森电路的宏观量子性，并由此奠定了超导量子比特与相关量子技术的发展基础。

参见

• π 约瑟夫森结
• φ 约瑟夫森结
• 约瑟夫森二极管
• 安德烈夫反射
• 分数量子涡旋
• 金兹堡–朗道理论
• 宏观量子现象
• 宏观量子自俘获
• 量子计算机
• 量子陀螺仪
• 快速单磁通量子（RSFQ）
• 半磁通子
• 零点能
• 约瑟夫森涡旋