递归定理

递归定理（recursion theorem）递归函数论——即可计算性理论（computability theory，研究"什么问题原则上可以被机械地计算"的学科）——中的一组基本定理，由Stephen Cole Kleene提出，合称 Kleene 递归定理，包括两条：第一递归定理: 任何用递归方式定义的函数方程都有可计算的（最小）解——机械式的递归定义永远合法、永远有解；第二递归定理: 对任何可计算的全函数 [math]\displaystyle{ f }[/math]，总存在源程序[math]\displaystyle{ c }[/math]，使得执行[math]\displaystyle{ c }[/math]与执行[math]\displaystyle{ f(c) }[/math] 效果完全相同（[math]\displaystyle{ \phi_c = \phi_{f(c)} }[/math]）——程序可以合法地引用自己的代码。

两条之中，第二递归定理尤为重要，它是数学中对自指（self-reference）现象最简洁、最有力的统一陈述：它只有一步对角线证明 `[math]\displaystyle{ c = S(e, e) }[/math]`（[math]\displaystyle{ S }[/math] 是"把程序的部分输入写死、生成新程序"的柯里化操作，详见 §2.3），却统一了从罗素悖论（1901）、Gödel不完备定理（1931）、Turing停机问题（1936）、von Neumann 自复制自动机（1948）到今天的Quine程序（1960s）等全部自指现象——它们本质上是同一种对角线/自指结构的不同化身（详 §5.7）。

图1：六个经典自指现象——Cantor对角线（1891）、Russell悖论（1901）、Gödel不完备定理（1931）、Turing停机问题（1936）、von Neumann自复制（1948）、Quine（自打印程序，1960s）——都源于同一种对角线/自指原理；Kleene 第二递归定理是这一原理最一般的陈述。

总览：两个定理各说了什么

Kleene 递归定理是关于自指（self-reference，即一个系统"谈论"自身）不动点（fixed point，即变换后保持不变的点）两个基本定理的合称。先用日常语言各说一遍，再给出精确表述。

第二递归定理（日常语言版）：对任何可计算的全函数 [math]\displaystyle{ f }[/math]（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 [math]\displaystyle{ c }[/math]，使得执行 [math]\displaystyle{ c }[/math] 的效果，等同于执行 [math]\displaystyle{ f(c) }[/math]——即 [math]\displaystyle{ f }[/math] 拿着 [math]\displaystyle{ c }[/math] 自己的源代码算出来的那个程序。 用符号写就是：[math]\displaystyle{ \phi_c = \phi_{f(c)} }[/math].

第一递归定理（日常语言版）：任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 [math]\displaystyle{ fac(n) = n\cdot fac(n−1) }[/math]）——都必然有解 ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，机械式的递归定义永远合法、永远有解。

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在第二节逐一解释，此处可先跳过细节）：

	第一递归定理（First Recursion Theorem, FRT）	第二递归定理（Second Recursion Theorem, SRT）
作用对象	函数本身（"把函数变成函数"的规则）	程序的编号（代码）
结论	任何可计算的函数变换规则 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 都有最小不动点 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]，且 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 是可计算的：[math]\displaystyle{ \Psi(\phi) = \phi }[/math]	任何可计算的程序变换规则 [math]\displaystyle{ f }[/math] 都有不动点 [math]\displaystyle{ n }[/math]：程序 [math]\displaystyle{ n }[/math] 与程序 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] 计算同一个函数，记作 [math]\displaystyle{ \phi_n = \phi_{f(n)} }[/math]
数学血统	序理论中 Knaster–Tarski 不动点定理的"可计算版本"	对角线方法（diagonalization，Cantor、Gödel、Turing 用过的同一种论证技术）的集大成者
别称	弱递归定理	强递归定理、Kleene 不动点定理
首次出现	Kleene (1952)《元数学导论》中明确表述	Kleene (1938) §2 末尾，当时甚至没有名字，证明只有两行

图2：两个定理的"不动点"含义截然不同——左：函数 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]经变换[math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 后变回 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]（函数层面）；右：程序 [math]\displaystyle{ n }[/math] 经变换 [math]\displaystyle{ f }[/math] 后变成另一个程序 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math]（通常[math]\displaystyle{ f(n) \neq n }[/math]），但[math]\displaystyle{ \phi_n = \phi_{f(n)} }[/math]（代码变了，行为不变）。§2.5 对此有详细辨析。