递归定理

递归定理（recursion theorem）递归函数论——即可计算性理论（computability theory，研究"什么问题原则上可以被机械地计算"的学科）——中的一组基本定理，由Stephen Cole Kleene提出，合称 Kleene 递归定理，包括两条：第一递归定理: 任何用递归方式定义的函数方程都有可计算的（最小）解——机械式的递归定义永远合法、永远有解；第二递归定理: 对任何可计算的全函数 [math]\displaystyle{ f }[/math]，总存在源程序[math]\displaystyle{ c }[/math]，使得执行[math]\displaystyle{ c }[/math]与执行[math]\displaystyle{ f(c) }[/math] 效果完全相同（[math]\displaystyle{ \phi_c = \phi_{f(c)} }[/math]）——程序可以合法地引用自己的代码。

两条之中，第二递归定理尤为重要，它是数学中对自指（self-reference）现象最简洁、最有力的统一陈述：它只有一步对角线证明 `[math]\displaystyle{ c = S(e, e) }[/math]`（[math]\displaystyle{ S }[/math] 是"把程序的部分输入写死、生成新程序"的柯里化操作，详见 §2.3），却统一了从罗素悖论（1901）、Gödel不完备定理（1931）、Turing停机问题（1936）、von Neumann 自复制自动机（1948）到今天的Quine程序（1960s）等全部自指现象——它们本质上是同一种对角线/自指结构的不同化身（详 §5.7）。

图1：六个经典自指现象——Cantor对角线（1891）、Russell悖论（1901）、Gödel不完备定理（1931）、Turing停机问题（1936）、von Neumann自复制（1948）、Quine（自打印程序，1960s）——都源于同一种对角线/自指原理；Kleene 第二递归定理是这一原理最一般的陈述。

总览：两个定理各说了什么

Kleene 递归定理是关于自指（self-reference，即一个系统"谈论"自身）不动点（fixed point，即变换后保持不变的点）两个基本定理的合称。先用日常语言各说一遍，再给出精确表述。

第二递归定理（日常语言版）：对任何可计算的全函数 [math]\displaystyle{ f }[/math]（一个对任何输入都停机的"程序变换"），总存在一个源程序 [math]\displaystyle{ c }[/math]，使得执行 [math]\displaystyle{ c }[/math] 的效果，等同于执行 [math]\displaystyle{ f(c) }[/math]——即 [math]\displaystyle{ f }[/math] 拿着 [math]\displaystyle{ c }[/math] 自己的源代码算出来的那个程序。 用符号写就是：[math]\displaystyle{ \phi_c = \phi_{f(c)} }[/math].

第一递归定理（日常语言版）：任何递归定义——即把一个函数在某处的值，写成它自己在其他输入上的值（比如阶乘 [math]\displaystyle{ fac(n) = n\cdot fac(n−1) }[/math]）——都必然有解 ，而且其中"最小"的那个解一定能被机器算出。换句话说，机械式的递归定义永远合法、永远有解。

两个定理的对照表（其中涉及的符号会在第二节逐一解释，此处可先跳过细节）：

	第一递归定理（First Recursion Theorem, FRT）	第二递归定理（Second Recursion Theorem, SRT）
作用对象	函数本身（"把函数变成函数"的规则）	程序的编号（代码）
结论	任何可计算的函数变换规则 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 都有最小不动点 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]，且 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 是可计算的：[math]\displaystyle{ \Psi(\phi) = \phi }[/math]	任何可计算的程序变换规则 [math]\displaystyle{ f }[/math] 都有不动点 [math]\displaystyle{ n }[/math]：程序 [math]\displaystyle{ n }[/math] 与程序 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] 计算同一个函数，记作 [math]\displaystyle{ \phi_n = \phi_{f(n)} }[/math]
数学血统	序理论中 Knaster–Tarski 不动点定理的"可计算版本"	对角线方法（diagonalization，Cantor、Gödel、Turing 用过的同一种论证技术）的集大成者
别称	弱递归定理	强递归定理、Kleene 不动点定理
首次出现	Kleene (1952)《元数学导论》中明确表述	Kleene (1938) §2 末尾，当时甚至没有名字，证明只有两行

图2：两个定理的"不动点"含义截然不同——左：函数 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]经变换[math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 后变回 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]（函数层面）；右：程序 [math]\displaystyle{ n }[/math] 经变换 [math]\displaystyle{ f }[/math] 后变成另一个程序 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math]（通常[math]\displaystyle{ f(n) \neq n }[/math]），但[math]\displaystyle{ \phi_n = \phi_{f(n)} }[/math]（代码变了，行为不变）。§2.5 对此有详细辨析。

第二递归定理被 Moschovakis 称为 "令人惊叹的"（amazing）——他的综述标题就叫 Kleene's Amazing Second Recursion Theorem；计算机科学家 Neil Jones 称之"可计算性的瑞士军刀"（A Swiss Pocket Knife for Computability）〔转引自 Kiselyov, §1〕。它的一行证明看似只是个小技巧，却支撑了从 Gödel 不完备定理到序数理论、从程序自复制到有效描述集合论的庞大理论大厦（详见第五、六节）。

预备知识：读懂本词条所需的全部概念

本节用程序员熟悉的语言解释文中会反复出现的五个概念。已经熟悉的读者可以跳过。

"可计算"与"部分函数"

可计算的（computable / effective / recursive）：一个函数是"可计算的"，意思是存在一套固定的、有穷的指令（程序），使得对任何输入，只要机械地按指令执行有穷多步，就能得到输出。"可计算的"（computable）、"有效的"（effective）、"递归的"（recursive）在本文中是同义词——这是历史造成的术语冗余，三个词来自 Church、Turing、Gödel–Kleene 三条等价的技术路线。

部分函数（partial function）：一台机器在某些输入上可能永远不停机（死循环），这时它在这些输入上没有输出。我们把"在部分输入上有定义、在其余输入上无定义"的函数称为部分函数；在所有输入上都有定义的称为全函数（total function）。程序天然对应部分函数，而不是数学课本里那种"处处有值"的函数——这是可计算性理论与普通数学的第一个思维差异。

记号 [math]\displaystyle{ \phi_e }[/math]：把全体程序（的所有可计算部分函数）排成一个序列，用自然数 0, 1, 2, [math]\displaystyle{ \ldots }[/math] 编号，[math]\displaystyle{ \phi_e }[/math] 表示"编号为 e 的程序所计算的那个部分函数"。这个编号也叫哥德尔配数（Gödel number）：关键思想是"程序本身也是一个有限符号串，可以编码成一个自然数"，于是程序即数据——程序可以作为另一个程序的输入被处理。[math]\displaystyle{ \phi_e(x) }[/math] 表示"编号 [math]\displaystyle{ e }[/math] 的程序在输入 [math]\displaystyle{ x }[/math] 上的输出"（可能无定义）。本文中 [math]\displaystyle{ p \downarrow }[/math] 表示"程序 [math]\displaystyle{ p }[/math] 停机（有输出）"，[math]\displaystyle{ p \uparrow }[/math] 表示"不停机（无输出）"。

通用程序（解释器）

存在一台"通用机器"：给它输入 [math]\displaystyle{ (e, x) }[/math]，它就模拟编号 [math]\displaystyle{ e }[/math] 的程序在输入 [math]\displaystyle{ x }[/math] 上的运行。这就是今天的解释器 / 虚拟机思想，Turing 1936 年的通用图灵机是它的首个化身。用记号写就是：存在程序[math]\displaystyle{ i }[/math] 使得 [math]\displaystyle{ \phi_i(e, x) = \phi_e(x) }[/math]。

s-m-n 定理（柯里化 / 参数特化）

s-m-n 定理说：给定一个双输入程序和它的第一个输入，可以机械地生成一个"把第一个输入写死在程序里"的新单输入程序。用程序员的话说，就是柯里化（currying）或部分应用（partial application）总是可以机械完成的：存在可计算的全函数 [math]\displaystyle{ S }[/math]，使得

[math]\displaystyle{ \phi_{S(e, y)}(x) = \phi_e(y, x) }[/math]

即"程序 [math]\displaystyle{ S(e,y) }[/math]"在输入 [math]\displaystyle{ x }[/math] 上的行为 = "程序 [math]\displaystyle{ e }[/math]"在输入 [math]\displaystyle{ (y, x) }[/math] 上的行为。Kleene 1938 年论文中的 [math]\displaystyle{ S }[/math] 函数就是这个工具。第二递归定理的证明只需要这一个工具，此外什么都不需要——这是它惊人简单的原因。

递归可枚举集（r.e. set）

一个自然数集合称为递归可枚举的（recursively enumerable, 简写为r.e.），如果存在一台机器能把它的元素一个一个地全部列出来（允许重复、允许乱序；不在集合里的元素永远不会被列出）。等价地，r.e. 集就是某个程序有定义的输入的集合（即 [math]\displaystyle{ \phi_e }[/math] 的定义域），记作 [math]\displaystyle{ W_e }[/math]。典型例子："所有会停机的 (程序,输入) 对"构成的集合（停机问题集合 [math]\displaystyle{ K }[/math]）是 r.e. 的，但它的补集不是——这正是"停机问题不可判定"的现代表述。

"不动点"的两种含义（重要！）

"不动点"在本文中出现于两个截然不同的层面，混淆它们是最常见的理解障碍：

• 函数层面的不动点（第一递归定理）：变换规则 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 把函数 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 变成新函数 [math]\displaystyle{ \Psi(\phi) }[/math]；若 [math]\displaystyle{ \Psi(\phi) = \phi }[/math]（作为函数处处相等），[math]\displaystyle{ \phi }[/math] 就是 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 的不动点。这与分析学中"[math]\displaystyle{ f(x) = x }[/math] 的解"同类。
• 代码层面的不动点（第二递归定理）：变换规则 [math]\displaystyle{ f }[/math] 把程序编号 [math]\displaystyle{ n }[/math] 变成新编号 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math]；注意 [math]\displaystyle{ f(n)\neq n }[/math] 通常成立——程序代码确实变了；但神奇的是，新程序 [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] 和旧程序 [math]\displaystyle{ n }[/math] 计算的函数相同：[math]\displaystyle{ \phi_n = \phi_{f(n)} }[/math]。所以"不动"的不是代码，而是代码的行为。Rogers 为此特意造了"不动点值（fixed-point value）"一词，强调它不是数值不动点。

历史背景

起源：一篇研究"序数记号"的 6 页短文

第二递归定理诞生于 Kleene 1938 年发表于《符号逻辑杂志》（The Journal of Symbolic Logic）的一篇仅 6 页的短文《论序数的记号》（On Notation for Ordinal Numbers）。这篇论文的主题表面上与"递归定理"毫不相干：

背景知识——序数（ordinal number）：序数是"无限队列的长度"的数学化。数完 0, 1, 2, 3, [math]\displaystyle{ \ldots }[/math]（全体自然数）之后，数学上允许继续数：第一个"超过所有自然数"的序数记作 [math]\displaystyle{ \omega }[/math]，然后还有 [math]\displaystyle{ \omega+1 }[/math], [math]\displaystyle{ \omega+2 }[/math], [math]\displaystyle{ \ldots }[/math], [math]\displaystyle{ \omega\cdot2 }[/math], [math]\displaystyle{ \ldots }[/math], [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math], [math]\displaystyle{ \ldots }[/math], [math]\displaystyle{ \omega^\omega }[/math], [math]\displaystyle{ \ldots }[/math]，可以无限延伸。所有"能用可数步骤达到"的序数称为可数序数，它们的总体（第二数类）是不可数的。

Church 与 Kleene 在 1930 年代问了一个构造性问题：能不能给每个可数序数起一个"机械可读的代号"（自然数编码），使得仅凭代号就能机械地判断：这个序数是 0、是某个序数的后继（+1）、还是某个递增序列的极限？并且在后两种情况下能机械地取出前驱代号或序列代号？ 满足这些条件的编码方案称为一个序数记号系统（Kleene 称之为 r-system）。

Kleene 在论文的 §2 中建立了可计算函数的基本技术（编号、通用函数、§2.3 的 S函数），然后在 §2 的最后顺手陈述并证明了一个当时没有名字的定理：

• 若 [math]\displaystyle{ \psi(z, x) }[/math] 是任意可计算的部分函数，则存在一个数 [math]\displaystyle{ f }[/math]，使得 [math]\displaystyle{ \phi_f(x) = \psi(f, x) }[/math] 对所有 [math]\displaystyle{ x }[/math] 成立（等号含义：两边同时无定义，或同时有定义且相等）。

• 证明：设 e 是函数 [math]\displaystyle{ \psi(S(y,y), x) }[/math] 的编号，取 [math]\displaystyle{ f = S(e, e) }[/math] 即可。

——这就是第二递归定理的原始形态。Moschovakis 称之为 Kleene 没有意识到自己发掘出"小宝石"（little gem）；Kiselyov 则以"函数式珍珠（A Functional Pearl）"为题向函数式编程社区重新发掘了它。

这个"小宝石"随即在论文的 §3 被用于证明该文的主要结果：存在一个"通用"序数记号系统 [math]\displaystyle{ S_1 }[/math]——任何其他合法记号系统能命名的序数，[math]\displaystyle{ S_1 }[/math] 都能命名，且翻译过程本身是可计算的。这是"沿着序数逐层向上做递归定义"（后来称为有效超限递归，effective transfinite recursion）这一方法的首次应用。Kleene 由此构造出著名的记号系统 O（Kleene's O），并证明存在最小的一个"不可命名"的序数——Church–Kleene 序数 [math]\displaystyle{ \omega_1^{CK} }[/math]，即可数序数中第一个无法被任何机械记号系统触及的序数。

命名史

Kleene 本人始终只叫它 "the recursion theorem"（递归定理）——即使在他 1952 年的《元数学导论》（Introduction to Metamathematics）中两个定理同时出现时，也未加区分。

Rogers (1967) 在其经典教材第 11 章首次建议：在两个定理同台的语境中，把关于"函数变换规则的不动点"的定理称为第一递归定理（Rogers 书中 Theorems XI、XII），把 Kleene 1938 的定理称为第二递归定理（Rogers 书中 Theorem IV）。Moschovakis 明确表示支持："在允许投票的场合，我投票采纳 Rogers 的命名"。

关于证明是怎么想到的：有学生曾问 Kleene，这个"短得可疑、巧得离谱"的两行证明从何而来，Kleene（也许是开玩笑地）回答说他只"拿着 s-m-n 性质瞎鼓捣"（"fiddled around with (b)"）。Moschovakis 评论说，这种"鼓捣"很可能受到 [[[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] 演算]]（Church 与 Kleene 此前共同发展的形式系统）中类似对角线构造的启发〔同上〕。

一个值得铭记的教训

1944 年，Kleene 曾错误地宣称他构造的记号集 O 具有较低的逻辑复杂度（属于 [math]\displaystyle{ \Pi^0_2 }[/math] 类），因为他把第二递归定理给出的某一个不动点，误当作了归纳定义所要求的最小不动点。事实上 O 的复杂度要高得多（它是[math]\displaystyle{ \Pi^1_1 }[/math]-完备），Kleene 直到 1955 年才纠正。这个故事最生动地说明了：第二递归定理只保证"给你一个不动点"，不保证给你"最小/最特殊的那个"——这正是它区别于第一递归定理的关键（见 4.4 与 6.6）。

第一递归定理（FRT）

从"递归定义的函数"说起

编程中最自然的定义方式是递归：定义阶乘时写 `fac(n) = n * fac(n-1)`，等号右边出现了正在定义的函数自己。抽象地看，这类定义都在解一个"函数方程"：

[math]\displaystyle{ \phi = \Psi(\phi) }[/math]

其中 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 是一个"函数变换规则"（输入一个函数 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]，输出一个新函数 [math]\displaystyle{ \Psi(\phi) }[/math]；术语叫算子，operator）。例如阶乘定义对应的 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 是：给定任意函数 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]，输出新函数 [math]\displaystyle{ \phi' }[/math]，其中 [math]\displaystyle{ \phi'(0) = 1 }[/math]，

[math]\displaystyle{ \phi'(n) = n\cdot\phi(n−1) }[/math]。

第一递归定理问的是：什么样的 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 能保证方程 [math]\displaystyle{ \phi = \Psi(\phi) }[/math] 有解，而且解是可计算的？

定理表述

定义（可计算的变换规则）：如果变换 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 满足下面两条，就称它是递归算子（recursive operator）：

1. 单调性：[math]\displaystyle{ \phi \subseteq \psi }[/math]（即 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] 在 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 有定义的地方都有定义且取值相同）蕴含 [math]\displaystyle{ \Psi(\phi) \subseteq \Psi(\psi) }[/math]；
2. 有限性/连续性：[math]\displaystyle{ \Psi(\phi) }[/math] 的每个输出只依赖 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 在有限个输入上的值。

直觉地说，第二条就是"机器在任何时刻只能查看有限多的已有计算结果"——这是"机械可执行"的数学化。阶乘、斐波那契数列、以及绝大多数程序语言中的递归定义都满足这两条.

第一递归定理：设 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 是递归算子，则存在函数 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 使得：

1. [math]\displaystyle{ \Psi(\phi) = \phi }[/math]（[math]\displaystyle{ \phi }[/math] 是方程的解，即 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] 的不动点）；
2. 最小性：任何其他解 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] 都满足 [math]\displaystyle{ \phi \subseteq \psi }[/math]（[math]\displaystyle{ \phi }[/math] 是"信息最少"的解）；
3. 可计算性：[math]\displaystyle{ \phi }[/math] 是可计算的部分函数。

证明思路：从"处处无定义的空函数"出发，反复应用 [math]\displaystyle{ \Psi }[/math]：[math]\displaystyle{ \phi_0 }[/math] = 空，[math]\displaystyle{ \phi_1 = \Psi(\phi_0) }[/math]，[math]\displaystyle{ \phi_2 = \Psi(\phi_1),\ldots\ldots }[/math]。单调性保证这个序列不断"变长"（每次迭代只增不减）；有限性保证最终收敛到一个函数 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]，且 [math]\displaystyle{ \Psi(\phi) = \phi }[/math]；"每一步都是机械操作"保证 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 整体可计算。取所有 [math]\displaystyle{ \phi_n }[/math]的并就是答案。

例子：方程组 [math]\displaystyle{ \phi(1) = 2 }[/math]，[math]\displaystyle{ \phi(2x) = 2\phi(x) }[/math] 对应一个递归算子，其最小不动点是：[math]\displaystyle{ \phi(x) = x }[/math]（当 [math]\displaystyle{ x }[/math] 是 2 的幂），其余输入无定义。注意"最小性"自动处理了定义不完整的分支——机器在"非 2 的幂"上自然发散。

意义：递归定义的"存在性定理"

第一递归定理的角色，类似于分析学中用不动点定理（如 Banach 压缩映像原理）证明微分方程解的存在性：它一劳永逸地保证"机械式递归定义必有可计算的解"，从此定义递归函数时无需逐个证明合法性。Rogers 指出，"递归定理"这个名字正来源于此——它是"解递归方程"的定理，类比集合论中沿序数递归定义函数的原理。Kleene 本人甚至把第一递归定理视为支持 Church–Turing 论题（"可计算 = 递归/图灵可计算"这一哲学论题）的最强证据之一：它表明"可计算函数"这个类恰好封闭于最一般的机械递归定义方式之下，不多也不少。

数学血统上，它是 Knaster–Tarski 不动点定理（序理论中"完备格上的单调映射必有不动点"）在"可计算"约束下的有效化版本。

与第二递归定理的关系

Rogers 证明了：第二递归定理（强）蕴含第一递归定理（弱）——存在统一的机械方法，把"函数层面的不动点问题"翻译成"代码层面的不动点问题"，并且翻译后得到的不动点恰好是最小的。反过来不成立：第五、六节中第二递归定理的应用几乎都无法由第一递归定理得到。因此两者中第二递归定理更基本、更强大。

Moschovakis 还给出了一个统一形式：把"变换规则"同时允许依赖于"函数的编号"和"函数的值"，所得不动点定理在两种极端情形下分别退化为第二递归定理（不依赖函数值）和第一递归定理（不依赖编号）。