蝴蝶效应 Butterfly effect

历史

值ρ= 28，σ= 10，β= 8/3 的Lorenz 奇异吸引子的图。蝴蝶效应或对初始条件的敏感依赖性是动力学系统的特性，该动力学系统从吸引子上的各种任意接近的替代初始条件中的任意一个开始，迭代点将彼此任意散布。

美国气象学家爱德华·罗伦兹 Edward N.Lorenz 1963年在一篇提交纽约科学院的论文《确定性非周期流 Deterministic Nonperiodic Flow 》 中分析了这个效应：“一个气象学家提及，如果这个理论被证明正确，一只海鸥扇动翅膀足以永远改变天气变化。”在后来的演讲和论文中他用了更加有诗意的表达——“蝴蝶效应”。

对于这个效应最常见的阐述是：“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。他观察到，将天气模型的初始条件进行看似无关紧要的四舍五入之后，就无法产生与未经四舍五入处理的初始条件同样的结果。他将这种现象称之为“混沌学（混沌理论）”。当然，“蝴蝶效应”主要还是关于混沌学的一个比喻。也是蝴蝶效应的真实反应，即不起眼的一个小动作却能引起一连串的巨大反应。

定义

理论定义

在混沌理论 Chaos theory中，蝴蝶效应是对初始条件的一种敏感依赖——在初始条件下，确定性非线性系统的一种状态的微小变化会导致在后续状态巨大差异。

蝴蝶效应说明了任何事物发展均存在定数与变数，事物在发展过程中其发展轨迹有规律可循，同时也存在不可测的“变数”，往往还会适得其反，一个微小的变化能影响事物的发展，证实了事物的发展具有复杂性。

理论依据

递归（系统向其初始状态的近似返回）和系统状态对初始条件的敏感依赖性是造成混沌运动的两个主要因素。它们带来的实际影响就是使复杂系统（如天气系统）难以进行超过特定时间范围的预测（天气预测的话大约1周），因为无法完全准确地测量起始大气条件。当点随着时间以指数速度任意靠近、融合、分开时，动力学系统就会显示出对初始条件的这种敏感依赖性。这个定义不是基于拓扑学的，它本质上是一种测量。

数学定义

定义：设M是映射[math]\displaystyle{ f^{t} }[/math]的状态空间：如果对于任何[math]\displaystyle{ x∈M }[/math]和[math]\displaystyle{ δ\gt 0 }[/math]，都存在[math]\displaystyle{ y∈M }[/math]和距离[math]\displaystyle{ d(. , .) }[/math]使得 [math]\displaystyle{ 0\lt d(x,y)\lt δ }[/math] 且对于某个正数 [math]\displaystyle{ a }[/math] 有 [math]\displaystyle{ d(f^{t}(x),f^{t}(y))\gt e^{at}d(x,y) }[/math]，则映射 [math]\displaystyle{ f^{t} }[/math] 表现出对初始条件的敏感依赖性。该定义不要求邻域中的所有点都与基点x分开，而是需要一个正的李雅普诺夫指数 Lyapunov exponent。

逻辑图映射的特定参数化提供了表现出对初始条件敏感依赖的最简单的数学框架：

[math]\displaystyle{ x_{n+1} = 4x_n(1-x_n),\quad 0≤x_{0}≤1. }[/math]

与大多数混沌图映射不同，该图映射具有封闭形式的解决方案：

[math]\displaystyle{ x_{n} = sin^{2}(2^{n}θπ). }[/math]

其中初始状态[math]\displaystyle{ θ=\frac{1}{π} sin^{-1}(x_{0}^{\frac{1}{2}}) }[/math]，对于有理数 [math]\displaystyle{ θ }[/math] ，在有限次数的迭代之后，[math]\displaystyle{ x_{n} }[/math] 映射为周期序列。但是几乎所有的 [math]\displaystyle{ θ }[/math] 都是无理数的，那么对于无理数的 [math]\displaystyle{ θ }[/math] ，[math]\displaystyle{ x_{n} }[/math] 永远不会自我重复——因为它是非周期性的。该解决方案方程式清楚地说明了混沌的两个关键特征–拉伸 stretching和折叠 folding ：因子 ，[math]\displaystyle{ 2^{n} }[/math] 显示拉伸的指数增长，这导致对初始条件的敏感依赖（即蝴蝶效应），而正弦平方函数将 ，[math]\displaystyle{ x_{n} }[/math] 折叠在[0,1]范围内。

插图

Lorenz吸引子中的蝴蝶效应
时间 0 ≤ t ≤ 30		z 坐标
这些图显示了在Lorenz吸引子中在相同时间段内两个轨迹的三维演化的两个部分（一个为蓝色，另一个为黄色），从两个初始点开始，它们在x上仅相差10−5 坐标。最初，两个轨迹似乎是重合的，如蓝色和黄色轨迹的z坐标之间的微小差异所表明的，但对于t > 23而言，该差异与该轨迹的值一样大。圆锥体的最终位置指示两条轨迹在t = 30. 不再重合。
洛伦兹吸引子的动画显示了不断的发展。

应用

关于科学

天气系统方面

就天气系统而言，蝴蝶效应是最为人所熟悉的，它可以很容易地在标准的天气预报模型中得到证明。气候科学家詹姆斯·安南 James Annan和威廉·康诺利 William Connolley解释说，混沌对天气预报方法的发展很重要; 模型对初始条件很敏感。 他们补充说明: “当然，一只未知蝴蝶扇动翅膀的存在与天气预报没有直接关系，因为这样一个小小的扰动需要很长时间才会发展到一个显著的规模，而且我们还有许多更紧迫的不确定性需要担心。因此，这种效应对天气预报的直接影响往往是错误的。”

量子力学方面

在半经典和量子物理中，包括强（引力）场中的原子和各向异性的开普勒问题中，已经研究了对初始条件敏感的可能性（即蝴蝶效应）。 一些作者认为，在纯量子处理中不存在对初始条件的极端（指数）依赖；然而，经典运动证明了系统对初始条件存在敏感依赖，Martin Gutzwiller、Delos 及其同事发展的半经典处理也纳入了这一点。

普林 Poulin等人提出了一种量子算法来测量保真度衰减，这种算法“初始状态虽然相同，但在动力学影响下其发散速率也会不同，即使各动力学因素的区别极其微小，所带来的发散速率差别也是可测的”。经典的蝴蝶效应考虑的是在给定汉密尔顿系统 Hamiltonian system 中一个物体的位置和（或）速度的微小变化所产生的影响，而量子蝴蝶效应则考虑的是在给定的初始位置和速度下哈密顿系统的微小变化所产生的影响。这种量子蝴蝶效应已被实验证实。量子和半经典处理的系统对初始条件的敏感性被称为量子混沌。

关于文化

中国古籍的描述

原文（《吕氏春秋·察微》）： 楚之边邑曰卑梁，其处女与吴之边邑处女桑于境上，戏而伤卑梁之处女。卑梁人操其伤子以让吴人，吴人应之不恭，怒，杀而去之。吴人往报之，尽屠其家。卑梁公怒，曰：“吴人焉敢攻吾邑？”举兵反攻之，老弱尽杀之矣。吴王夷昧闻之，怒，使人举兵侵楚之边邑，克夷而后去之。吴、楚以此大隆。吴公子光又率师与楚人战于鸡父，大败楚人，获其帅潘子臣、小帷子、陈夏啮。又反伐郢，得荆平王之夫人以归，实为鸡父之战。凡持国，太上知始，其次知终，其次知中。三者不能，国必危，身必穷。《孝经》曰：“高而不危，所以长守贵也；满而不溢，所以长守富也。富贵不离其身，然后能保其社稷，而和其民人。”楚不能之也。

译文： 楚国有个边境城邑叫卑梁，那里的姑娘和吴国边境城邑的姑娘同在边境上采桑叶，游戏时，吴国的姑娘弄伤了卑梁的姑娘。卑梁的人带着受伤的姑娘去责备吴国人。吴国人出言不恭，卑梁人十分恼火，杀死吴人走了。吴国人去卑梁报复，把那个卑梁人全家都杀了。卑梁的守邑大夫大怒，说：“吴国人怎么敢攻打我的城邑？”于是发兵反击吴人，把吴人老幼全都杀死了。吴王夷昧听到这件事后很生气，派人领兵入侵楚国的边境城邑，攻占夷以后才离去。吴国和楚国因此发生了大规模的冲突。吴国公子光又率领军队在鸡父和楚国人交战，大败楚军，俘获了楚军的主帅潘子臣、小帷子以及陈国的大夫夏啮。又接着攻打郢都，获得楚平王的夫人而回。这就是鸡父之战。凡是主持国事，最上等的是要了解事情开始时的情势，其次是要预见到事情的结局，再次是要知道事情发展的经过。这三点都做不到，国家一定危险，自身一定困窘。《孝经》上说：“高却不倾危，就能长期保持尊贵；满却不外溢，就能长期保持富足。富贵不离其身，然后才能保住他的国家，而且安定他的人民。”可是楚国做不到这一点。

流行文化的引用

2008年，记者彼得·迪齐克斯 Peter Dizikes在《波士顿环球报 The Boston Globe》上撰文指出，流行文化喜欢蝴蝶效应这个概念，但却把它搞错了。Lorenz用蝴蝶的比喻正确地指出了可预测性“本质上是有限的” ，而流行文化则假定每一件事都可以通过找到引起它的小原因来解释。 Dizikes 解释说: “这说明了我们对世界应该是可以理解的这一更大的期望——每件事情的发生都是有原因的，而且我们可以精确地指出所有这些原因，无论它们多么微小。 但大自然本身就违背了这种期望。”

进一步阅读

• 刘式达. 从蝴蝶效应谈起[M]. 湖南教育出版社, 1994.[1]
• 韩立新, 霍江河. “蝴蝶效应”与网络舆论生成机制[J]. 当代传播, 2008(06):65-68.[2]
• 匡文波. 论新媒体传播中的“蝴蝶效应”及其对策[J]. 国际新闻界, 2009, 6(8):72-75.[3]

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