更改

添加802字节 、 2022年12月28日 (三) 09:25
第123行: 第123行:  
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型,也叫贝尔特拉米-克莱因模型,或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家,他把那个时代的所有几何统一起来,从群论的角度去分析,从而影响了几何学数十年的发展,这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
 
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型,也叫贝尔特拉米-克莱因模型,或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家,他把那个时代的所有几何统一起来,从群论的角度去分析,从而影响了几何学数十年的发展,这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
 
克莱因模型的优势在于:(1)圆盘上的弦就是双曲空间中的直线,因而两点之间的最短距离是沿着直线的(2)圆盘上的距离计算相当简单,仅使用线段比例即可,这是它得名射影圆盘的原因;克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
 
克莱因模型的优势在于:(1)圆盘上的弦就是双曲空间中的直线,因而两点之间的最短距离是沿着直线的(2)圆盘上的距离计算相当简单,仅使用线段比例即可,这是它得名射影圆盘的原因;克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
 +
[[文件:图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线(图片来源于网络).png|居中|缩略图|568x568像素|图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线(图片来源于网络)]]
   −
图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线(图片来源于网络)
     −
图21 克莱因圆盘上的距离和圆(圆的大小相等,图片来源于网络)
+
<gallery widths="400" heights="300">
 +
文件:图21 克莱因圆盘上的距离和圆(圆的大小相等,图片来源于网络).jpg|图21 克莱因圆盘上的长度计算(图片来源于网络)
 +
文件:图21 克莱因圆盘上的距离和圆(圆的大小相等,图片来源于网络)2.png|图21 克莱因圆盘上的长度计算(图片来源于网络)
 +
</gallery>
 +
 
       
克莱因圆盘不再是保角的,这意味着圆盘上的图案会发生变形:例如欧式空间的圆在克莱因圆盘上会表现为椭圆形,那么埃舍尔的鱼游到射影圆盘上是什么样子呢?
 
克莱因圆盘不再是保角的,这意味着圆盘上的图案会发生变形:例如欧式空间的圆在克莱因圆盘上会表现为椭圆形,那么埃舍尔的鱼游到射影圆盘上是什么样子呢?
   −
图22 圆极限克莱因圆盘版                                   图23 克莱因圆盘上的三角形
+
<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
(图片来源于书籍Hyperbolic geometry )   
+
文件:图22 圆极限克莱因圆盘版 .png|图22 圆极限克莱因圆盘版(图片来源于书籍''Hyperbolic geometry'')
 +
文件:图23 克莱因圆盘上的三角形(图片来源于网络).jpg|图23 克莱因圆盘上的三角形(图片来源于网络)
 +
</gallery>
 +
   
 
                                                                                                                
 
                                                                                                                
   −
也许你不熟悉克莱因圆盘,但是听说过克莱因瓶吗,那个4维空间的瓶子?是的,盘子和瓶子出自同一位。顺便说一句,克莱因瓶是莫比乌斯环的高维对应物。
+
也许你不熟悉克莱因圆盘,但是听说过克莱因瓶吗,那个4维空间的瓶子?是的,盘子和瓶子出自同一位。顺便说一句,克莱因瓶是莫比乌斯环的高维对应物。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
 
+
文件:图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络).jpg|图24:克莱因
图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)
+
文件:图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)2.jpg|图24:克莱因瓶 (图片来源于网络)
 +
</gallery>
    
===双曲面模型===  
 
===双曲面模型===