图动力系统

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在数学领域中, 图动力系统 Graph dynamical systems的概念可以用来捕捉发生在图或网络上的广泛的过程。Gds 数学和计算分析的一个主题是将它们的结构特性联系起来(如网络连接)和全球动力学的结果。

Gdss 的工作是研究有限图和有限状态空间。因此,研究通常涉及到的技术是图论组合学代数动力系统,而不是微分几何。原则上,我们可以在一个无限图上定义和研究 gds (例如:。元胞自动机或概率元胞自动机在 [math]\displaystyle{ \mathbb { z } ^ k }[/math]或相互作用的粒子系统(包括一些随机性)上,以及具有无限状态空间的 gds (例如:在耦合映象格子中的 [math]\displaystyle{ \mathbb {r} }[/math]; 例如,见 Wu。[1]在下文中,除非另有说明,否则一切图和空间都默认为有限。

正式定义

图动力系统 Graph dynamical systems是由以下部分构成的:


  • 具有变量集v[Y] = {1,2, ... , n}的有限图 Y。根据上下文,可以为有向图或无向图。
  • Y的取自有限集合“K”的每个顶点v的状态,“系统状态”是“n”元组“x”= (x1, x2, ... , xn),“x”[“v”]是由与垂直相关的状态组成的元组。
  • 每个顶点v的顶点函数fv 。顶点函数将时间“t”的顶点“v”的状态映射到时间t + 1 ,1基于与“Y”中“v”的1邻域相关的状态。
  • 一个“更新方案”,通过它可以实现对单个顶点状态的映射,从而得到一个映射为“F”的离散动力系统:“Kn”。


动力系统的相空间是有限有向图,其顶点集为 k n ,有向边(x,f (x))。相空间的结构由图 y 的性质、顶点函数(f i)i和更新方案决定。该领域的研究试图推断相空间特性的基础上的结构的系统组成。这种分析具有局部到全局的特点。

广义细胞自动机

例如,如果新方案由应用顶点函数组成,那么我们获得广义细胞自动机 Generalized cellular automata (GCA)(CA)类。在这种情况下,整体映射 f: k n → k n 是由

[math]\displaystyle{ f(x)vv(x[v]) }[/math]

这个类别被称为广义细胞自动机 Generalized cellular automata (GCA) ,因为经典的或标准的细胞自动机通常定义和研究在正则图或网格上,并且我们通常假定顶点函数是相同的。


再例如: 设 y 是顶点{1,2,3,4}上的圆图,边{1,2} ,{2,3} ,{3,4}和{1,4} ,表示 Circ4。设 k {0,1}为每个顶点的状态空间,对所有顶点函数使用 nor 3: k 3→ k,该函数由 nor 3 (x,y,z)(1 + x)(1 + y)(1 + z)定义,算术模为2。然后,例如,使用同步更新将系统状态(0,1,0,0)映射到(0,0,0,1)。所有的相变都显示在下面的相空间中。


Circ-4-nor.jpg

序列动力系统

如果顶点函数按照 v [y]中 w (w 1,w2,... ,wm)或置换[math]\displaystyle{ pi }[/math]([math]\displaystyle{ pi 1 }[/math][math]\displaystyle{ pi 2, dots, pi n }[/math])指定的序列异步应用,那么我们可以得到'序列动力系统 Sequential dynamical systems (SDS) 的类。[2]在这种情况下,可以方便地引入由顶点函数构造的 y 局部映射 fi

[math]\displaystyle{ F_i (x) = (x_1, x_2,\ldots, x_{i-1}, f_i(x[i]), x_{i+1}, \ldots , x_n) \;. }[/math]

Sds 映射 f [ f y ,w] : kn → k n 是复合函数


[math]\displaystyle{ [F_Y ,w] = F_{w(m)} \circ F_{w(m-1)} \circ \cdots \circ F_{w(2)} \circ F_{w(1)} \;. }[/math]


如果新序列是置换序列,那么我们就经常使用置换 SDS map F = [FY] 以强调这一点。

例如: 设 y 是顶点{1,2,3,4}上的圆图,边{1,2} ,{2,3} ,{3,4}和{1,4} ,表示 Circ 4。设 k {0,1}为每个顶点的状态空间,对所有顶点函数使用 nor 3: k 3 → k,该函数由 nor 3 (x,y,z)(1 + x)(1 + y)(1 + z)定义,算术模为2。使用新序列(1,2,3,4) ,然后将系统状态(0,1,0,0)映射到(0,0,1,0)。在所有系统状态转换下,这个动力系统依次显示在下面的相空间。


Circ-4-nor-1234.jpg

随机图动力系统

例如,从应用程序的角度来看,思考 GDS的一个或多个组件包含随机元素的情况是有趣的。激励应用程序可以包括不完全理解的过程(例如:细胞内部的动力学) ,以及所有实际应用的某些方面似乎都符合某些概率分布。还有一些由确定性原理控制的应用程序,因为它们的描述要么复杂要么笨拙,所以考虑概率近似是有意义的。

图动力系统 graph dynamical system的每个元素都可以通过几种方式随机化。例如,在顺序动力系统中,新序列可以是随机的。在每个迭代步骤中,可以从给定的新序列分布中随机选择具有相应概率的更新序列 w。新序列的匹配概率空间引出 SDS 地图的概率空间。在这方面需要研究的一个自然对象是 SDS 映射集合在状态空间上产生的 马尔可夫链 Markov chain 。这种情况被称为新序列随机 GDS,其目的如,“事件”按照一定的速率随机发生的过程(如化学反应),在并行计算 / 离散事件模拟中的同步,以及在后面描述的计算范例中的同步! ——确保这个交叉引用保持 / 工作。


这个带有随机更新序列的具体例子说明了这类系统的两个一般事实: 当传递到一个 随机图动力系统 Stochastic graph dynamical system时,一般会导致: (1)对 马尔可夫链 Markov chain 的研究(其具体结构由 GDS 的组成部分控制) ,和(2)由此产生的 马尔可夫链 Markov chain 趋向于具有指数数量的状态。随机 GDS 研究的一个中心目标是能够推导出简化模型。

我们也可以考虑顶点函数是随机的情况,即函数是随机的 GDS。例如,随机布尔网络是函数随机 GDS 使用同步更新方案的例子,其中状态空间为 k {0,1}。有限概率 细胞自动机(PCA)是功能随机 GDS 的另一个例子。原则上,相互作用粒子系统(IPS)包括有限和无限的 PCA,但实际上,IPS 的工作主要是关注无限的情况,因为这允许在状态空间中引入更多有趣的拓扑Topologies

应用

图动力系统是捕捉分布式系统(如生物网络和社会网络上的传染病)的自然框架,其中许多常常被称为 复杂系统 Complex systems

另请参见

参考文献

  1. Wu, Chai Wah (2005). "Synchronization in networks of nonlinear dynamical systems coupled via a directed graph". Nonlinearity. 18 (3): 1057–1064. Bibcode:2005Nonli..18.1057W. doi:10.1088/0951-7715/18/3/007.
  2. Mortveit, Henning S.; Reidys, Christian M. (2008). An introduction to sequential dynamical systems. Universitext. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-30654-4. 

延伸阅读

外部链接

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