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添加1,262字节 、 2022年12月28日 (三) 09:09
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除了共形模型和射影模型,还有一种重要的模型叫双曲面模型,也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义,尤其是与狭义相对论密切相关。
 
除了共形模型和射影模型,还有一种重要的模型叫双曲面模型,也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义,尤其是与狭义相对论密切相关。
 
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等,希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错,但是双曲面嵌入的不是欧式空间,而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同:在闵可夫斯基空间中的居民看来,双曲面是最完美的几何体,就像我们看待球面一样,它是到定点的距离为定长的点集。
 
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等,希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错,但是双曲面嵌入的不是欧式空间,而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同:在闵可夫斯基空间中的居民看来,双曲面是最完美的几何体,就像我们看待球面一样,它是到定点的距离为定长的点集。
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[[文件:图25 双曲面模型(图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ).jpg|居中|缩略图|386x386像素|图25 双曲面模型(图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks )]]
    
图25 双曲面模型(图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks )
 
图25 双曲面模型(图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks )
    
除了距离比较反常之外,双曲面模型其实具有很好的对称性,并且符合我们的物理直觉。例如,双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线(最短距离)。
 
除了距离比较反常之外,双曲面模型其实具有很好的对称性,并且符合我们的物理直觉。例如,双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线(最短距离)。
前面讲了球面可以有很多种投影,又讲了双曲面是闵可夫斯基空间中的球面,那它也可以有很多投影,于是戏法就来了:从顶点向双曲面投影,在水平面上将得到庞加莱圆盘(注意圆盘上的测地线是曲线)。
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前面讲了球面可以有很多种投影,又讲了双曲面是闵可夫斯基空间中的球面,那它也可以有很多投影,于是戏法就来了:从顶点向双曲面投影,在水平面上将得到庞加莱圆盘(注意圆盘上的测地线是曲线)。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
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文件:图26 双曲面与庞加莱圆盘(图片来源于网络)1.png|图26:双曲面与庞加莱圆盘(图片来源于网络)
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文件:图26 双曲面与庞加莱圆盘(图片来源于网络)2.gif|图26 双曲面与庞加莱圆盘(图片来源于网络)
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图26 双曲面与庞加莱圆盘(图片来源于网络)
 
图26 双曲面与庞加莱圆盘(图片来源于网络)
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这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。
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这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
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文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘(二)(图片来源于网络).png|图27 双曲面与庞加莱圆盘(二)(图片来源于网络)
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文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘(二)(图片来源于网络)2.jpg|图27 双曲面与庞加莱圆盘(二)(图片来源于网络)
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</gallery>图27 双曲面与庞加莱圆盘(二)(图片来源于网络)
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图27 双曲面与庞加莱圆盘(二)(图片来源于网络)
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从坐标原点向双曲面投影,在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘(注意圆盘上的测地线是直线)。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
 
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文件:图28 双曲面与克莱因圆盘(图片来源于网络).png|图28 双曲面与克莱因圆盘(图片来源于网络)
从坐标原点向双曲面投影,在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘(注意圆盘上的测地线是直线)。
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文件:图28 双曲面与克莱因圆盘(图片来源于网络)2.png|图28 双曲面与克莱因圆盘(图片来源于网络)
 
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</gallery>图28 双曲面与克莱因圆盘(图片来源于网络)
图28 双曲面与克莱因圆盘(图片来源于网络)
      
如果采用平行光线投影,则可以得到Gans模型,Gans模型是另一种共形模型。
 
如果采用平行光线投影,则可以得到Gans模型,Gans模型是另一种共形模型。