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|keywords=双曲几何,Poincare圆盘,Poincare平面
|description=双曲几何,Poincare圆盘,Poincare平面
}}
在数学中，曲率为常数且为负数的空间被称为双曲空间。为了直观的表示双曲空间，数学家们开发了很多模型。
==彭加莱平面==
===跟踪曲线（Tractrix）===
[[File:Tractrixtrygif.gif|400px]]
莱布尼茨首先提出了跟踪曲线的问题。如上面的动画所展示。考虑水平地面上有一个物体，你用一根长长的细杆推动兼或拖拉着它。细杆的长度固定，一边连接着物体，而且连接处可以自由转动，另一端则被你手牵动着。当你沿着y=0这条直线匀速直线往前走的时候，那么这个物体在水平地面上运动后形成的轨迹就被称为跟踪曲线（Tractrix）<ref name=tractrix>{{cite wikipedia|title=Tractrix|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix}}</ref>。
下面，我们将列出这个曲线的方程，并根据这条曲线生成三维的双曲曲面。
如下图所示，根据跟踪曲线的含义，我们知道，物体的运动方向也就是曲线的切线方向，刚好与拖动的杆子（绳索）相重合，并且因为杆子的另一端始终在y＝0上面滑动，所以我们可以列出方程：
[[File:Tractrixequationillustration.png|500px]]
根据简单的几何运算，我们知道这条曲线需要满足下面的方程：
<math>
dy/dx=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}
</math>
其中a表示杆子的长度。当x=0时，杆子与y轴重合，于是y(0)=a为初始条件。不妨假设a=1，我们可以求解出这个微分方程。
<math>
x=\mathrm{arccosh}\frac{1}{y}-\sqrt{1-y^2}.
</math>
不过，为了后面讨论方便，我们采用曲线的弧长作为参数，来列出该曲线的参数方程。我们设从x=0点出发的曲线弧长s为自变量，那么可以知道曲线的参数方程就变为：
<math>
\begin{align}
&x=\mathrm{arccosh}\,e^{s}-\sqrt{1-e^{-2s}}\\
&y=e^{-s}
\end{align}
</math>
==旋转跟踪曲面==
让跟踪曲线绕着它的渐近线（y=0这个数轴）转一圈，形成的曲面就是一个满足曲率为－1的双曲平面，该曲面被称为Tractricoid（旋转跟踪曲面），也被称为伪球面（pseudosphere）。如下图所示
[[File:Pseudosphere-representation.png|400px]]
我们可以用弧长以及旋转的角度作为基本参数，写出跟踪旋转曲面的参数方程：
<math>
\begin{align}
&x=\mathrm{arccosh}\,e^s-\sqrt{1-e^{-2s}}\\
&y=e^{-s}\mathrm{cos\,}\theta\\
&z=e^{-s}\mathrm{sin\,}\theta
\end{align}
</math>
其中s就是跟踪曲线上的物体从开始走过的弧长，<math>\theta</math>就是曲线从开始绕着y＝0旋转的角度（如下图）。
[[File:rotationtracixvoid.png|500px]]
如果我们以<math>s, \theta</math>为自由参数，那么它们就构成了一个描述这个旋转曲面的坐标系。
下面，我们将设法找到制约这个新曲面的度规，有关度规，请参看[[空间曲面]]。
假设我们从任意点<math>s, \theta</math>出发，沿着曲面行走一段小距离，这一小段既包括沿着s方向的行走，有包括了沿着<math>\theta</math>方向的转动。当角度旋转了<math>d\theta</math>之后，对应的曲面上的位移应为旋转的角度乘以旋转的半径，也就是<math>e^{-s}d\theta</math>，这样，曲面上的一段小微元距离就应该是：
<math>
dl^2=ds^2+e^{-2s}d\theta^2
</math>
接下来，如果我们令<math>\gamma=e^{s}</math>，那么<math>d\gamma=e^{s}ds</math>，于是，我们就得到：
<math>
dl^2=\frac{d\gamma^2+d\theta^2}{\gamma^2}=\begin{pmatrix}d\gamma&d\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\gamma^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\gamma^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\gamma\\d\theta\end{pmatrix}
</math>
或者，也可以写作：
<math>
dl=\frac{\sqrt{d\gamma^2+d\theta^2}}{\gamma}
</math>
于是，我们就可以用新的坐标：<math>\gamma</math>和<math>\theta</math>作为坐标系，来刻画我们这个二维曲面。那么，根据[[空间曲面]]中的讨论，我们知道，这个新空间的度规矩阵可以是：
<math>
\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{\gamma^2} & 0\\
0&\frac{1}{\gamma^2}\\
\end{matrix}
\right)
</math>
而这个新的空间就被称之为彭加莱平面，它是刻画二维双曲曲面的一种最常用的模型。
==彭加莱平面==
[[File:800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png|800px]]
===定义===
为了刻画双曲空间，人们发明了各种各样的模型，其中彭加莱平面（Poincare plane）是我们最常用的一个。上面我们只是用跟踪曲线作为一个引子将彭加莱平面模型给引出来。下面，我们来正式引入彭加莱平面二维双曲空间模型。
设曲面M，位于二维实数空间的上半平面上，即<math>M=\{(u,v)\in R^2 | v>0\}</math>，其中u,v是曲面的坐标。对于该曲面上的任意两个切向量<math>\textbf{w}_1,\textbf{w}_2</math>，我们定义度规g为：
<math>g(\textbf{w}_1,\textbf{w}_2)=\frac{\textbf{w}_1\cdot \textbf{w}_2}{v^2}</math>
可以验证，这个度规g满足双线性的要求。这一具备该度规的曲面M被称为'''彭加莱平面'''。
当给定切向量空间中的一组基以后，我们可以将度规表示为一个矩阵（因为度规是一个双线性映射）。即：
<math>g(\textbf{x},\textbf{y})=\textbf{x}^TA\textbf{y}</math>
这里<math>\textbf{x},\textbf{y}</math>都是切向量，并在一组基下相应地展开了，A是度规g对应的矩阵。
这样，比如普通的内积对应的矩阵就是单位阵，而彭加莱平面的矩阵就是：
<math>
\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{v^2} & 0\\
0&\frac{1}{v^2}\\
\end{matrix}
\right)
</math>
===曲线长度===
设M中有一条曲线<math>\alpha(t), t\in [a,b]</math>，那么这条线的切向量为<math>\alpha' dt</math>, 它的长度就是<math>dl=|\alpha'|_{hyp}dt=\frac{|\alpha'|_{euc}}{y(t)}dt</math>，其中第一个长度<math>|\alpha'|_{hyp}</math>是在双曲空间下的长度，第二个长度<math>|\alpha'|_{euc}</math>是在欧氏空间下的长度。所以这条曲线在区间[a,b]上的长度就是：
<math>
l_{hyp}=\int_a^b{\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}}dt
</math>
===测地线===
设彭加莱平面上任意两点P、Q，那么过P、Q的曲线中，双曲距离最短的一个就是链接P、Q的测地线。根据双曲空间彭加莱模型，测地线需要满足方程(参看[[空间曲面]])：<math>u''-\frac{2}{v}u'v'=0, v''+\frac{1}{v}u'^2-\frac{1}{v}v'^2=0</math>，最后求解可得：
<math>(u-d)^2+v^2=1/c^2</math>
这是一个以u上任意点d为圆心，1/c为半径的圆，它可以由P、Q两点的坐标确定下来。这就是彭加莱平面上的测地线，如下图。
[[File:poincareplanehalfillustration.png|600px]]
当P、Q两点位于垂直于X轴的同一条直线上的时候，穿过P、Q的测地线就是这条垂直于X轴的竖直线，它可以看作是一个半径为无穷大的圆。
===双曲距离===
下面，我们考察空间中任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)之间的距离。
我们知道，PQ之间的双曲距离应该是连接P、Q两点的中心在x轴上面的半圆所对应的弧长。但是，我们并不能直接用这段弧长在欧氏空间下的弧长公式来计算，这是因为空间的度规不是欧氏的而是双曲的，因此我们应该沿着这段弧长对双曲度规做积分。我们设P、Q两点中心在x轴上的半圆的圆心O在<math>x_0</math>，半径为r，那么我们可以写出这个半圆所满足的参数方程为：
<math>x=x_0+r \mathrm{cos\,}\theta,y=r \mathrm{sin\,}\theta</math>
其中<math>x_0=\frac{x_2^2-x_1^2+y_2^2+y_1^2}{2(x_2-x_1)}</math>，以及<math>r=\sqrt{y_1^2+\frac{(x_1-x_2)^2-y_1^2+y_2^2)^2}{4(x_1-x_2)^2}}</math>
沿这条曲线做度规的积分得到，距离：
<math>
d_{hyp}(P,Q)=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}}{y}d\theta=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{\mathrm{sin\,}\theta}d\theta=\log\frac{\tan{\theta_2/2}}{\tan{\theta_1/2}}
</math>
其中，<math>\theta_1</math>为P到O的直线与x轴的夹角，<math>\theta_2</math>为Q到O的直线与x轴的夹角，如下图：
[[File:distanceinpoincareplane.png|500px]]
进一步，如果我们设P对应的二维坐标写成复数z，而Q则写成复数z'的形式，那么将上式化简，可得到：
<math>
d_{hyp}(P,Q)=\log\frac{|z-\bar{z}'|+|z-z'|}{|z-\bar{z}'|-|z-z'|}
</math>
其中，<math>z=x_1+y_1i,z'=x_2+y_2i,\bar{z}'=x_2-y_2i</math>
===等距变换===
在一般曲面的几何中，人们一般关心这个空间中的等距变换。顾名思义，设<math>\Gamma</math>是一个将M上的点映射到另一个点的映射，那么如果它是一个等距变换的话，那么对于M上的任意两点有：
<math>
d(P,Q)=d(\Gamma(P),\Gamma(Q))
</math>
也就是说，这种几何变换可以保持距离。我们知道，刚体在欧氏空间中运动的时候，物体的形状就保持不变。因此，等距变换就相当于是让几何形体做刚体运动。
下面，我们可以看几个等距变换的实例：
====同位变换（Homotheties）====
所谓的同位变换，是指满足下列关系的变换：（<math>\phi(x,y)=(\lambda x,\lambda y)</math>），其中<math>\lambda</math>是变换中的参数。这种变换相当于以原点(0,0)为中心，向外放大几何图形。为什么说这是一种等距变换呢？这是因为对于任意的曲线<math>\gamma(t)</math>，那么它上面的所有店点经过变换<math>\phi</math>之后映射到了新的曲线，那么这条新曲线的长度为：
<math>
l_{hyp}(\phi(\gamma))=\int_a^b\frac{\sqrt{\lambda^2x'(t)^2+\lambda^2y'(t)^2}}{\lambda y(t)}dt=\int_a^b\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}dt=l_{hyp}(\gamma)
</math>
由此可见，它并不改变曲线的长度。因此，对于任意两点之间的测地线来说，这个结论也满足，所以距离在这个变换下保持不变。
====标准倒置变换====
下面，让我们再来看一个等距变换的实例。这就是倒置变换，对于彭加莱平面上的任意点(x,y)，等距变换<math>\phi</math>定义为：
<math>
\phi(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)
</math>
在几何上，这个变换相当于对点(x,y)沿着单位圆做倒置（参见下面的讨论）。
[[File:hyperbolicmodelInversePoints_701.gif|500px]]
如图所示，所谓P与P'关于圆O互为倒置，是指<math>|OP|\cdot |OP'|=r^2</math>，其中r为圆的半径。
为什么说这个变换是一个等距变换呢？我们仍然用任意一条曲线<math>\gamma(t)</math>来说明。假设曲线<math>\gamma: t \mapsto (x_1(t),y_1(t)), a\leq t\leq b</math>
这里：
<math>
x_1(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2+y(t)^2}, y_1(t)=\frac{y(t)}{x(t)^2+y(t)^2}
</math>
于是，它们的导数分别是：
<math>x'_1(t)=\frac{(y(t)^2-x(t)^2)x'(t)-2x(t)y(t)y'(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}, y'_1(t)=\frac{(y(t)^2-x(t)^2)y'(t)-2x(t)y(t)x'(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}</math>
将这两个式子化简，再相加到一起，得到：
<math>
x'_1(t)^2+y'_1(t)^2=\frac{x'(t)^2+y'(t)^2}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}
</math>
于是，就有：
<math>
l_{hyp}(\phi(\gamma))=\int_a^b\frac{\sqrt{x'_1(t)^2+y'_1(t)^2}}{y_1(t)}dt=\int_a^b\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}dt=l_{hyp}(\gamma)
</math>
所以，这是一个保距变换。
====水平平移====
设任意点(x,y)，它沿水平方向平移x<sub>0</sub>定义为变换：
<math>
\phi(x,y)=(x+x_0,y)
</math>
容易验证，这种变换也是保距变换。
====一般形式====
我们已经看到了三种保距变换：同位、倒置和水平平移。我们知道，Poincare平面模型中的点(x,y)可以表达成复数z=x+yi，那么同位变换就相当于复数映射<math>z\mapsto \lambda z</math> ，倒置操作就相当于变换：<math>z\mapsto \frac{z}{|z|^2}=\frac{1}{\bar{z}}</math>，这里<math>\bar{z}</math>是z的共轭复数。而平移变换则相当于：<math>z\mapsto z+x_0</math>，所以它们都可以写成复数的运算。一般的，对于任意一种保距变换来说，它都可以表达成复数变换公式：
<math>
z\mapsto \frac{az+b}{cz+d},
</math>
或者：
<math>
z\mapsto \frac{c\bar{z}+d}{a\bar{z}+b}
</math>
这里的<math>a,b,c,d\in R</math>都是常数，且满足：
<math>
ad-bc=1
</math>
反过来讲，对于任意的参数a,b,c,d上述两式都可以对应彭加莱平面中的等距变换。
===圆===
在欧氏空间中，我们将圆定义为到某一个定点P<sub>0</sub>距离相同的所有点的集合。
类似地，我们可以在双曲空间种定义圆为到某一个定点P<sub>0</sub>双曲距离相同的所有点的集合。那么这个双曲空间中的圆在Poincare平面空间中长什么样子呢？
我们设固定点P<sub>0</sub>的复数表示为z=a+bi, 动点P的复数表示为z'=x+yi，那么根据上述推出来的距离公式，我们有：
<math>
\frac{1+\frac{|z-z'|}{|z-\bar{z'}|}}{1-\frac{|z-z'|}{|z-\bar{z'}|}}=e^R
</math>
其中R就是这个圆的半径，<math>c=\frac{e^R+1}{e^R-1}</math>。将坐标代入，进行整理就会得到关于x和y的一个方程：
<math>
\left(x-\frac{a-ac^2}{1-c^2}\right)^2+\left(y-\frac{b+bc^2}{1-c^2}\right)^2=\left(\frac{2bc}{1-c^2}\right)^2
</math>
因此，从方程形式上不难看出，这在欧氏空间的笛卡尔坐标系下，是一个以<math>(\frac{a-ac^2}{1-c^2},\frac{b+bc^2}{1-c^2})</math>为圆心，以<math>\left(\frac{2bc}{1-c^2}\right)</math>为半径的圆。所以说，双曲空间下的圆在彭加莱平面的表象下也是圆。
我们可以让圆心P<sub>0</sub>取不同的位置，利用上述方程画出这些圆如下：
[[File:hyperbolic_circles.png|400px]]
其中不同的颜色曲线对应了不同中心点P<sub>0</sub>的双曲空间中的圆，它们的半径都是1，这些圆的圆心坐标分别为(0,0.1),(0,0.5),(0,1),(1,0.5),(-1,0.5)。这些圆虽然双曲半径都是1，但是它们在欧氏空间下的表观形状会大小都不一样。由图可见，中心点越往上，它相应的表观半径也越大。在同一个水平方向上，圆的表观形状相同。
另外一个有趣的事实是，双曲空间中的圆的圆心并不在表观圆的圆心上，而且这种偏离程度会随着y坐标轴的升高而增大。
==彭加莱圆盘==
[[File:Escher_Circle_Limit_III.jpg|500px]]
虽然彭加莱平面可以很好地模型化双曲空间，但是它也仍然存在着很多弊端。为了避免这些弊端，我们可以再建立一种模型，这被称为彭加莱圆盘（Poincare disk，如上图）。为了得到彭加莱圆盘，我们首先要在(0,-1)的位置上，以<math>\sqrt{2}</math>为半径做一个圆。之后，我们就可以将彭加莱平面上的所有点都对这个圆做倒置（inversion）操作，然后再对y＝0这个数轴做轴对称操作。
我们不妨将这一变换称为J，然后看一些特殊的点在J的作用下映射到了哪里。我们先看原点(0,0)。它到圆心的距离为1，所以它的倒置操作的对应像应该在(0,1)这个位置上，把它沿着y=0轴翻转一下就得到了(0,-1)，所以(0,0)映射到了(0,-1)。我们再看看(-1,0)和(1,0)，不难看出它们都在这个J的映射作用下保持不变。而无穷大会对应到(0,1)这个点上。不难验证，所有彭加莱平面上的点在J的作用下之后形成了一个以原点为中心的单位圆。这个圆就被称为彭加莱元。
如果我们用复数z来描述彭加莱平面上的所有点，那么变换J就可以写为下面这样的函数：
<math>
J(z)=\frac{i z+1}{z+i}
</math>
我们不妨验证一下，将<math>z=0</math>代入上式就得到，<math>J(0)=-i</math>，这和上面得到的计算结果是一模一样的。
实质上这个变换的本质就是在于将彭加莱平面的x轴沿着i这个点为中心卷起来，形成了彭加莱圆盘的外围的圆。
===度规===
在彭加莱圆盘上，对于任意点P(x,y)，该点的任意两个向量为<math>\textbf{u},\textbf{v}</math>，则度规定义为：
<math>g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-x^2-y^2}</math>
其中g为P点处的度规，d(u,v)为欧氏空间下的两向量的内积。
如果用复数来表示坐标的话，那么度规为：
<math>g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-|z|^2}</math>
我们也可以根据映射J，以及彭加莱平面的度规来计算出彭加莱圆盘的度规：
<math>
ds^2=\frac{4dx^2+4dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}=\begin{pmatrix}dx&dy\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-x^2-y^2)^2}&0\\0&\frac{1}{(1-x^2-y^2)^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}
</math>
或者：
<math>
ds=\frac{2\sqrt{dx^2+dy^2}}{1-x^2-y^2}
</math>
由于彭加莱圆盘是一个圆，所以我们用极坐标描述会更方便，那么，在极坐标<math>(\theta,r)</math>下的度规为：
<math>
ds^2=\frac{d\theta^2+r^2dr^2}{(1-r^2)^2}=\begin{pmatrix}d\theta&dr\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-r^2)^2}&0\\0&\frac{1}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\theta\\dr\end{pmatrix}
</math>
===距离计算===
由于映射<math>J: z\mapsto \frac{iz+1}{z+i}</math>是保距的，对于任意的彭加莱平面上的两点P,Q, 它们对应的复数分别为：z,z'，被这个映射映到彭加莱圆盘上，则在圆盘上的像J(P)和J(Q)之间的距离d<sub>disk</sub>(J(P),J(Q))，应该等于=d<sub>plane</sub>(P,Q)，而我们知道
<math>
d_{plane}(P,Q)=\log \frac{|z-\bar{z}'|+|z-z'|}{|z-\bar{z}'|-|z-z'|}
</math>
设J(P)和J(Q)对应的复数分别为w和w'，这样，根据映射我们可以反解出：
<math>
z=\frac{1-wi}{w-i},z'=\frac{1-w'i}{w'-i},\bar{z}'=\frac{1+\bar{w}'i}{\bar{w}'+i}
</math>
将其带入可以得到
<math>
d_{disk}(J(P),J(Q))=d_{plane}(P,Q)=\log{\frac{1+s}{1-s}}
</math>
其中，<math>s=\frac{|w-w'|}{|1-w\bar{w'}|}</math>
这就是彭加莱圆盘中的两点距离的表达式。特别的，当Q是彭加莱圆盘的圆心的时候，w'＝0，则距离表达式为：
<math>
d_{disk}(0,w)=\log{\frac{1+|w|}{1-|w|}}
</math>
其中，w为另一个点对应的复数。
===测地线===
[[File:PoincareHyperbolicDisk_700.gif|300px]]
在Poincare圆盘中，测地线为与圆盘外围的圆相垂直的圆弧，包括穿越圆心的直线，如上图。
因为从Poincare平面到Poincare圆盘的映射为一个等距映射，所以它将Poincare平面上的测地线也映射成为Poincare圆盘上的测地线。又因为在平面中的测地线是垂直于x轴的圆，所以在圆盘上，测地线为垂直于边界圆的圆。
===等距变换===
所有的彭加莱圆盘上的等距变换都可以用下列式子来表示：
<math>
\phi(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\bar{\beta} z+\bar{\alpha}}, or, \phi(z)=\frac{\alpha \bar{z}+\beta}{\bar{\beta}\bar{z}+\bar{\alpha}}
</math>
其中，<math>\alpha,\beta</math>需要满足：
<math>
|\alpha|^2-|\beta|^2=1
</math>
===圆===
如果我们设w=a+bi, w'=x+yi, 圆的半径为r，则根据两点之间的距离公式，有：
<math>
\log{\frac{1+|w'-w|}{|1-w\bar{w'}|}}=r
</math>
反解出关于x和y的方程：
<math>
1-a^2 c^2-b^2 c^2+\left(-2 a+2 a c^2\right) x+\left(a^2+b^2-c^2\right) x^2+\left(-2 b+2 b c^2\right) y+\left(a^2+b^2-c^2\right) y^2=0
</math>
进一步化简可得：
<math>
\left(x-\frac{ac^2-a}{c^2-a^2-b^2}\right)^2+\left(y-\frac{bc^2-b}{c^2-a^2-b^2}\right)^2=\left(\frac{\left(-1+a^2+b^2\right) c}{\left(a^2+b^2-c^2\right)}\right)^2
</math>
其中<math>c=\frac{e^r+1}{e^r-1}</math>。可以看出，这是一个圆的方程。所以，在彭加莱圆盘中的双曲圆也是欧几里德空间中的圆。下面，我们画出一些圆的图形，如下：
[[File:hyperbolicpoincaredisk.png|500px]]
最外圈的黑色的圆为彭加莱圆盘。其它的圆均是半径为0.6的圆，但是它们的圆心(a,b)位于不同的位置，圆心分别为：(0,0),(0,0.5),(0,0.9)以及(0.5,0.5)，我们可以看到，在双曲空间中，圆心并不位于圆的正中心，越靠近边缘，圆心越往外靠近边缘。而且，圆越靠近边缘，圆的表观大小也会变小。
====圆的周长和面积====
虽然彭加莱圆盘中的双曲圆还表现为圆，但是它的周长与面积的计算则与欧氏空间中完全不同。这是因为，当我们计算周长或者面积的时候，我们实际上在计算曲线或者区域的积分，所以我们需要考虑双曲空间中的度规的影响，下面我们就来以圆心为(0,0)，双曲半径为R（对应的欧几里德空间中的圆的表观半径为：<math>r=\frac{e^R-1}{e^R+1}</math>的圆为例来计算圆的周长和面积。
首先，周长计算应为：
<math>
C((0,0),R)=\int_0^{2\pi}\frac{2r}{1-r^2}d\theta=2\pi \sinh(R)
</math>
类似地，圆的面积为：
<math>
A((0,0),R)=\int\int_{|z|<r}\frac{4}{(1-|z|^2)^2}d\sigma=\int_0^{R}dr\int_0^{2\pi}d\theta \frac{4r}{(1-r^2)^2}=2\pi(\cosh{R}-1)
</math>
由此我们可以看出，无论是周长还是面积，它们都与半径R呈现出指数行的增长（注意到<math>\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math>），所以双曲空间是一个沿半径增长非常快的空间。到达圆盘边缘的区域就已经增长到相当的空间区域了。这就是双曲空间的显著特征。
不难用双曲空间中的圆方程证明，对于中心不在原点的圆，其直径和面积仍然是上述表达式。虽然我们不能将圆在不同位置平移，但是双曲空间的均匀性导致了圆的周长和面积是处处相等的。
==扩展的彭加莱圆盘==
在彭加莱圆盘模型中，我们要时刻警惕，虽然整个空间沿着中心对称，但是从原点到任意一个点的表观距离并不等于双曲距离。如果设表观的欧氏距离为r<sub>e</sub>，双曲距离为r<sub>h</sub>，则这二者之间满足如下关系：
<math>
r_e=\tanh{r_h/2}
</math>
因此，为了让表观距离和实际的双曲距离一致，我们可以建立一个新的模型，这就是扩展的彭加莱模型，使得任意点到中心的距离刚好等于双曲距离。假设原始坐标系（彭加莱圆盘）上任意点的极坐标为<math>(r,\theta)</math>，而新空间下该点的极坐标为<math>(r',\theta')</math>，则存在关系：
<math>
r'=2\tanh^{-1}{r},\theta'=\theta
</math>
则这个新的空间<math>(r',\theta)</math>即是扩展的彭加莱圆盘。
我们知道由于<math>\tanh(x)</math>函数是一个S型函数，在x趋近于无穷大的时候，该函数值趋于1。所以，彭加莱圆盘具有1单位大小的半径。而在扩展的彭加莱圆盘中，该空间的圆半径为无穷大。因而，在彭加莱圆盘表示中，靠近边缘的点被极度地压缩了。而在扩展的模型中，就不会存在这种被极度压缩的现象。
===度规===
我们知道，在彭加莱圆盘模型中，一小段微元可以写成极坐标形式的度规为：
<math>
ds^2=4\frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}=4(dr,d\theta)\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{r^2}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr\\ d\theta\end{pmatrix}
</math>
我们将坐标变换<math>r=\tanh(r'/2),\theta=\theta'</math>代入上式，并注意到：<math>dr^2=\frac{dr'^2}{4\cosh^2(r'/2)}</math>，则得到：
<math>
ds^2=4\frac{\frac{1}{4\cosh(r'/2)} dr'^2+\tanh^2(r'/2)d\theta'^2}{(1-\tanh^2(r'/2))^2}=dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2
</math>
或者，可以写为：
<math>
ds=\sqrt{dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2}
</math>
===任意两点距离公式===
设任意两点P、Q，它们在扩展彭加莱圆盘中的极坐标为：<math>(r,\theta)</math>， <math>(r',\theta')</math>，设它们之间的双曲距离为x，则：
<math>
\cosh{x}=\cosh(r)\cosh(r')-\sinh(r)\sinh(r')\cos(\Delta \theta)
</math>
其中，<math>\Delta \theta=\pi-|\pi-|\theta-\theta'||</math>
这与彭加莱圆盘中的距离公式一致，下面我们给出证明。
'''证明'''：
首先根据彭加莱圆盘中的距离公式：
<math>x=\log\frac{1+s}{1-s}, s=\frac{|w-w'|}{1-w\bar{w'}}</math> ，并设w,w'在彭加莱圆盘中的极坐标分别为：<math>(R,\theta),(R',\theta')</math>
则
<math>
s=\sqrt{\frac{R^2+R'^2-2RR'\cos\Delta\theta}{1+R^2R'^2-2RR'\cos\Delta\theta}}
</math>
而：
<math>
\cosh(x)=\frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1+s}{1-s}+\frac{1-s}{1+s}\right)=\frac{1+s^2}{1-s^2}
</math>
将s代入，则得到：
<math>
\cosh(x)=\frac{1+R^2+R'^2+R^2R'^2-4RR'\cos\theta}{(1-R^2)(1-R'^2)}
</math>
另一方面，将<math>r=\tanh(R/2),r'=\tanh(R'/2)</math>代入下面公式：
<math>
\cosh(x)=\cosh(r)\cosh(r')-\sinh(r)\sinh(r')\cos(\Delta \theta)=\frac{1+R^2}{1-R^2}\cdot \frac{1+R'^2}{1-R'^2}-4 \frac{RR'\cos\Delta\theta}{(1-R^2)(1-R'^2)}
</math>
故而两者相等。
====近似表达式====
当r和r'都很大，而且x也较大的时候，我们有近似公式：
<math>x\approx r+r'+2\log{\sin(\Delta\theta/2)}</math>
当<math>\Delta\theta/2)</math>很小的时候，
<math>x\approx r+r'+2\log{\Delta\theta/2}</math>
====圆====
根据彭加莱圆模型与扩展模型中极坐标之间的关系：
<math>
r_e=\tanh(r_h/2)
</math>
又知道彭加莱圆模型中以某点为中心的圆方程，代入上述坐标变换公式，就能得到扩展模型中的圆。不难从图形上看出，这个圆被严重扭曲、拉伸了。
[[File:hyperbolicextendedpoincaredisk.png|500px]]
这些圆中心的坐标分别为：(0,0) 蓝色, (5,10) 紫色,(-3,3) 黄色,(1,10) 绿色，这些圆的半径都是10。我们看到，越远离坐标中心，圆的扭曲也越厉害。
==各个模型的比较==
上述文章介绍了三种双曲平面的表示模型：彭加莱平面、彭加莱圆盘以及扩展的彭加莱圆盘。我们可以通过下图来比较这三种模型：
[[File:combinedplanediskextended.png|800px]]
这是在扩展彭加莱圆盘模型中的一组同心圆，也就是每一条曲线都是以彭加莱圆盘中的坐标原点为中心，到圆心的双曲距离分别为1，2，……，10的圆。当把这组曲线画在彭加莱平面中的时候，我们就看到了一组以(0,1)为中心的双曲空间中的圆曲线（在彭加莱平面中，双曲圆的中心并不是欧氏圆的中心），而在彭加莱圆盘模型中，这组圆从里往外变得越来越紧密，这说明彭加莱圆盘越到外围空间越紧密。
==参考文献==
# Francis Bonahon: Low-dimensional geometry - From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots, American Mathematical Society, 1995
# John Stillwell: Geometry of Surfaces, Springer-Verlag New York, 1992
# Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on Hyperbolic Geometry, Springer-Verlag Berlin Hamberg, 1992
# Wikipedia: [https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix]
<references/>
==相关WIKI==
*[[双曲空间模型]]
*[[空间曲面]]
[[category:双曲几何]]
|keywords=双曲几何,Poincare圆盘,Poincare平面
|description=双曲几何,Poincare圆盘,Poincare平面
}}
在数学中，曲率为常数且为负数的空间被称为双曲空间。为了直观的表示双曲空间，数学家们开发了很多模型。
==彭加莱平面==
===跟踪曲线（Tractrix）===
[[File:Tractrixtrygif.gif|400px]]
莱布尼茨首先提出了跟踪曲线的问题。如上面的动画所展示。考虑水平地面上有一个物体，你用一根长长的细杆推动兼或拖拉着它。细杆的长度固定，一边连接着物体，而且连接处可以自由转动，另一端则被你手牵动着。当你沿着y=0这条直线匀速直线往前走的时候，那么这个物体在水平地面上运动后形成的轨迹就被称为跟踪曲线（Tractrix）<ref name=tractrix>{{cite wikipedia|title=Tractrix|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix}}</ref>。
下面，我们将列出这个曲线的方程，并根据这条曲线生成三维的双曲曲面。
如下图所示，根据跟踪曲线的含义，我们知道，物体的运动方向也就是曲线的切线方向，刚好与拖动的杆子（绳索）相重合，并且因为杆子的另一端始终在y＝0上面滑动，所以我们可以列出方程：
[[File:Tractrixequationillustration.png|500px]]
根据简单的几何运算，我们知道这条曲线需要满足下面的方程：
<math>
dy/dx=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}
</math>
其中a表示杆子的长度。当x=0时，杆子与y轴重合，于是y(0)=a为初始条件。不妨假设a=1，我们可以求解出这个微分方程。
<math>
x=\mathrm{arccosh}\frac{1}{y}-\sqrt{1-y^2}.
</math>
不过，为了后面讨论方便，我们采用曲线的弧长作为参数，来列出该曲线的参数方程。我们设从x=0点出发的曲线弧长s为自变量，那么可以知道曲线的参数方程就变为：
<math>
\begin{align}
&x=\mathrm{arccosh}\,e^{s}-\sqrt{1-e^{-2s}}\\
&y=e^{-s}
\end{align}
</math>
==旋转跟踪曲面==
让跟踪曲线绕着它的渐近线（y=0这个数轴）转一圈，形成的曲面就是一个满足曲率为－1的双曲平面，该曲面被称为Tractricoid（旋转跟踪曲面），也被称为伪球面（pseudosphere）。如下图所示
[[File:Pseudosphere-representation.png|400px]]
我们可以用弧长以及旋转的角度作为基本参数，写出跟踪旋转曲面的参数方程：
<math>
\begin{align}
&x=\mathrm{arccosh}\,e^s-\sqrt{1-e^{-2s}}\\
&y=e^{-s}\mathrm{cos\,}\theta\\
&z=e^{-s}\mathrm{sin\,}\theta
\end{align}
</math>
其中s就是跟踪曲线上的物体从开始走过的弧长，<math>\theta</math>就是曲线从开始绕着y＝0旋转的角度（如下图）。
[[File:rotationtracixvoid.png|500px]]
如果我们以<math>s, \theta</math>为自由参数，那么它们就构成了一个描述这个旋转曲面的坐标系。
下面，我们将设法找到制约这个新曲面的度规，有关度规，请参看[[空间曲面]]。
假设我们从任意点<math>s, \theta</math>出发，沿着曲面行走一段小距离，这一小段既包括沿着s方向的行走，有包括了沿着<math>\theta</math>方向的转动。当角度旋转了<math>d\theta</math>之后，对应的曲面上的位移应为旋转的角度乘以旋转的半径，也就是<math>e^{-s}d\theta</math>，这样，曲面上的一段小微元距离就应该是：
<math>
dl^2=ds^2+e^{-2s}d\theta^2
</math>
接下来，如果我们令<math>\gamma=e^{s}</math>，那么<math>d\gamma=e^{s}ds</math>，于是，我们就得到：
<math>
dl^2=\frac{d\gamma^2+d\theta^2}{\gamma^2}=\begin{pmatrix}d\gamma&d\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\gamma^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\gamma^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\gamma\\d\theta\end{pmatrix}
</math>
或者，也可以写作：
<math>
dl=\frac{\sqrt{d\gamma^2+d\theta^2}}{\gamma}
</math>
于是，我们就可以用新的坐标：<math>\gamma</math>和<math>\theta</math>作为坐标系，来刻画我们这个二维曲面。那么，根据[[空间曲面]]中的讨论，我们知道，这个新空间的度规矩阵可以是：
<math>
\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{\gamma^2} & 0\\
0&\frac{1}{\gamma^2}\\
\end{matrix}
\right)
</math>
而这个新的空间就被称之为彭加莱平面，它是刻画二维双曲曲面的一种最常用的模型。
==彭加莱平面==
[[File:800px-Poincare_halfplane_eptagonal_hb.svg.png|800px]]
===定义===
为了刻画双曲空间，人们发明了各种各样的模型，其中彭加莱平面（Poincare plane）是我们最常用的一个。上面我们只是用跟踪曲线作为一个引子将彭加莱平面模型给引出来。下面，我们来正式引入彭加莱平面二维双曲空间模型。
设曲面M，位于二维实数空间的上半平面上，即<math>M=\{(u,v)\in R^2 | v>0\}</math>，其中u,v是曲面的坐标。对于该曲面上的任意两个切向量<math>\textbf{w}_1,\textbf{w}_2</math>，我们定义度规g为：
<math>g(\textbf{w}_1,\textbf{w}_2)=\frac{\textbf{w}_1\cdot \textbf{w}_2}{v^2}</math>
可以验证，这个度规g满足双线性的要求。这一具备该度规的曲面M被称为'''彭加莱平面'''。
当给定切向量空间中的一组基以后，我们可以将度规表示为一个矩阵（因为度规是一个双线性映射）。即：
<math>g(\textbf{x},\textbf{y})=\textbf{x}^TA\textbf{y}</math>
这里<math>\textbf{x},\textbf{y}</math>都是切向量，并在一组基下相应地展开了，A是度规g对应的矩阵。
这样，比如普通的内积对应的矩阵就是单位阵，而彭加莱平面的矩阵就是：
<math>
\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{v^2} & 0\\
0&\frac{1}{v^2}\\
\end{matrix}
\right)
</math>
===曲线长度===
设M中有一条曲线<math>\alpha(t), t\in [a,b]</math>，那么这条线的切向量为<math>\alpha' dt</math>, 它的长度就是<math>dl=|\alpha'|_{hyp}dt=\frac{|\alpha'|_{euc}}{y(t)}dt</math>，其中第一个长度<math>|\alpha'|_{hyp}</math>是在双曲空间下的长度，第二个长度<math>|\alpha'|_{euc}</math>是在欧氏空间下的长度。所以这条曲线在区间[a,b]上的长度就是：
<math>
l_{hyp}=\int_a^b{\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}}dt
</math>
===测地线===
设彭加莱平面上任意两点P、Q，那么过P、Q的曲线中，双曲距离最短的一个就是链接P、Q的测地线。根据双曲空间彭加莱模型，测地线需要满足方程(参看[[空间曲面]])：<math>u''-\frac{2}{v}u'v'=0, v''+\frac{1}{v}u'^2-\frac{1}{v}v'^2=0</math>，最后求解可得：
<math>(u-d)^2+v^2=1/c^2</math>
这是一个以u上任意点d为圆心，1/c为半径的圆，它可以由P、Q两点的坐标确定下来。这就是彭加莱平面上的测地线，如下图。
[[File:poincareplanehalfillustration.png|600px]]
当P、Q两点位于垂直于X轴的同一条直线上的时候，穿过P、Q的测地线就是这条垂直于X轴的竖直线，它可以看作是一个半径为无穷大的圆。
===双曲距离===
下面，我们考察空间中任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)之间的距离。
我们知道，PQ之间的双曲距离应该是连接P、Q两点的中心在x轴上面的半圆所对应的弧长。但是，我们并不能直接用这段弧长在欧氏空间下的弧长公式来计算，这是因为空间的度规不是欧氏的而是双曲的，因此我们应该沿着这段弧长对双曲度规做积分。我们设P、Q两点中心在x轴上的半圆的圆心O在<math>x_0</math>，半径为r，那么我们可以写出这个半圆所满足的参数方程为：
<math>x=x_0+r \mathrm{cos\,}\theta,y=r \mathrm{sin\,}\theta</math>
其中<math>x_0=\frac{x_2^2-x_1^2+y_2^2+y_1^2}{2(x_2-x_1)}</math>，以及<math>r=\sqrt{y_1^2+\frac{(x_1-x_2)^2-y_1^2+y_2^2)^2}{4(x_1-x_2)^2}}</math>
沿这条曲线做度规的积分得到，距离：
<math>
d_{hyp}(P,Q)=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}}{y}d\theta=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{\mathrm{sin\,}\theta}d\theta=\log\frac{\tan{\theta_2/2}}{\tan{\theta_1/2}}
</math>
其中，<math>\theta_1</math>为P到O的直线与x轴的夹角，<math>\theta_2</math>为Q到O的直线与x轴的夹角，如下图：
[[File:distanceinpoincareplane.png|500px]]
进一步，如果我们设P对应的二维坐标写成复数z，而Q则写成复数z'的形式，那么将上式化简，可得到：
<math>
d_{hyp}(P,Q)=\log\frac{|z-\bar{z}'|+|z-z'|}{|z-\bar{z}'|-|z-z'|}
</math>
其中，<math>z=x_1+y_1i,z'=x_2+y_2i,\bar{z}'=x_2-y_2i</math>
===等距变换===
在一般曲面的几何中，人们一般关心这个空间中的等距变换。顾名思义，设<math>\Gamma</math>是一个将M上的点映射到另一个点的映射，那么如果它是一个等距变换的话，那么对于M上的任意两点有：
<math>
d(P,Q)=d(\Gamma(P),\Gamma(Q))
</math>
也就是说，这种几何变换可以保持距离。我们知道，刚体在欧氏空间中运动的时候，物体的形状就保持不变。因此，等距变换就相当于是让几何形体做刚体运动。
下面，我们可以看几个等距变换的实例：
====同位变换（Homotheties）====
所谓的同位变换，是指满足下列关系的变换：（<math>\phi(x,y)=(\lambda x,\lambda y)</math>），其中<math>\lambda</math>是变换中的参数。这种变换相当于以原点(0,0)为中心，向外放大几何图形。为什么说这是一种等距变换呢？这是因为对于任意的曲线<math>\gamma(t)</math>，那么它上面的所有店点经过变换<math>\phi</math>之后映射到了新的曲线，那么这条新曲线的长度为：
<math>
l_{hyp}(\phi(\gamma))=\int_a^b\frac{\sqrt{\lambda^2x'(t)^2+\lambda^2y'(t)^2}}{\lambda y(t)}dt=\int_a^b\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}dt=l_{hyp}(\gamma)
</math>
由此可见，它并不改变曲线的长度。因此，对于任意两点之间的测地线来说，这个结论也满足，所以距离在这个变换下保持不变。
====标准倒置变换====
下面，让我们再来看一个等距变换的实例。这就是倒置变换，对于彭加莱平面上的任意点(x,y)，等距变换<math>\phi</math>定义为：
<math>
\phi(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right)
</math>
在几何上，这个变换相当于对点(x,y)沿着单位圆做倒置（参见下面的讨论）。
[[File:hyperbolicmodelInversePoints_701.gif|500px]]
如图所示，所谓P与P'关于圆O互为倒置，是指<math>|OP|\cdot |OP'|=r^2</math>，其中r为圆的半径。
为什么说这个变换是一个等距变换呢？我们仍然用任意一条曲线<math>\gamma(t)</math>来说明。假设曲线<math>\gamma: t \mapsto (x_1(t),y_1(t)), a\leq t\leq b</math>
这里：
<math>
x_1(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2+y(t)^2}, y_1(t)=\frac{y(t)}{x(t)^2+y(t)^2}
</math>
于是，它们的导数分别是：
<math>x'_1(t)=\frac{(y(t)^2-x(t)^2)x'(t)-2x(t)y(t)y'(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}, y'_1(t)=\frac{(y(t)^2-x(t)^2)y'(t)-2x(t)y(t)x'(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}</math>
将这两个式子化简，再相加到一起，得到：
<math>
x'_1(t)^2+y'_1(t)^2=\frac{x'(t)^2+y'(t)^2}{(x(t)^2+y(t)^2)^2}
</math>
于是，就有：
<math>
l_{hyp}(\phi(\gamma))=\int_a^b\frac{\sqrt{x'_1(t)^2+y'_1(t)^2}}{y_1(t)}dt=\int_a^b\frac{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}{y(t)}dt=l_{hyp}(\gamma)
</math>
所以，这是一个保距变换。
====水平平移====
设任意点(x,y)，它沿水平方向平移x<sub>0</sub>定义为变换：
<math>
\phi(x,y)=(x+x_0,y)
</math>
容易验证，这种变换也是保距变换。
====一般形式====
我们已经看到了三种保距变换：同位、倒置和水平平移。我们知道，Poincare平面模型中的点(x,y)可以表达成复数z=x+yi，那么同位变换就相当于复数映射<math>z\mapsto \lambda z</math> ，倒置操作就相当于变换：<math>z\mapsto \frac{z}{|z|^2}=\frac{1}{\bar{z}}</math>，这里<math>\bar{z}</math>是z的共轭复数。而平移变换则相当于：<math>z\mapsto z+x_0</math>，所以它们都可以写成复数的运算。一般的，对于任意一种保距变换来说，它都可以表达成复数变换公式：
<math>
z\mapsto \frac{az+b}{cz+d},
</math>
或者：
<math>
z\mapsto \frac{c\bar{z}+d}{a\bar{z}+b}
</math>
这里的<math>a,b,c,d\in R</math>都是常数，且满足：
<math>
ad-bc=1
</math>
反过来讲，对于任意的参数a,b,c,d上述两式都可以对应彭加莱平面中的等距变换。
===圆===
在欧氏空间中，我们将圆定义为到某一个定点P<sub>0</sub>距离相同的所有点的集合。
类似地，我们可以在双曲空间种定义圆为到某一个定点P<sub>0</sub>双曲距离相同的所有点的集合。那么这个双曲空间中的圆在Poincare平面空间中长什么样子呢？
我们设固定点P<sub>0</sub>的复数表示为z=a+bi, 动点P的复数表示为z'=x+yi，那么根据上述推出来的距离公式，我们有：
<math>
\frac{1+\frac{|z-z'|}{|z-\bar{z'}|}}{1-\frac{|z-z'|}{|z-\bar{z'}|}}=e^R
</math>
其中R就是这个圆的半径，<math>c=\frac{e^R+1}{e^R-1}</math>。将坐标代入，进行整理就会得到关于x和y的一个方程：
<math>
\left(x-\frac{a-ac^2}{1-c^2}\right)^2+\left(y-\frac{b+bc^2}{1-c^2}\right)^2=\left(\frac{2bc}{1-c^2}\right)^2
</math>
因此，从方程形式上不难看出，这在欧氏空间的笛卡尔坐标系下，是一个以<math>(\frac{a-ac^2}{1-c^2},\frac{b+bc^2}{1-c^2})</math>为圆心，以<math>\left(\frac{2bc}{1-c^2}\right)</math>为半径的圆。所以说，双曲空间下的圆在彭加莱平面的表象下也是圆。
我们可以让圆心P<sub>0</sub>取不同的位置，利用上述方程画出这些圆如下：
[[File:hyperbolic_circles.png|400px]]
其中不同的颜色曲线对应了不同中心点P<sub>0</sub>的双曲空间中的圆，它们的半径都是1，这些圆的圆心坐标分别为(0,0.1),(0,0.5),(0,1),(1,0.5),(-1,0.5)。这些圆虽然双曲半径都是1，但是它们在欧氏空间下的表观形状会大小都不一样。由图可见，中心点越往上，它相应的表观半径也越大。在同一个水平方向上，圆的表观形状相同。
另外一个有趣的事实是，双曲空间中的圆的圆心并不在表观圆的圆心上，而且这种偏离程度会随着y坐标轴的升高而增大。
==彭加莱圆盘==
[[File:Escher_Circle_Limit_III.jpg|500px]]
虽然彭加莱平面可以很好地模型化双曲空间，但是它也仍然存在着很多弊端。为了避免这些弊端，我们可以再建立一种模型，这被称为彭加莱圆盘（Poincare disk，如上图）。为了得到彭加莱圆盘，我们首先要在(0,-1)的位置上，以<math>\sqrt{2}</math>为半径做一个圆。之后，我们就可以将彭加莱平面上的所有点都对这个圆做倒置（inversion）操作，然后再对y＝0这个数轴做轴对称操作。
我们不妨将这一变换称为J，然后看一些特殊的点在J的作用下映射到了哪里。我们先看原点(0,0)。它到圆心的距离为1，所以它的倒置操作的对应像应该在(0,1)这个位置上，把它沿着y=0轴翻转一下就得到了(0,-1)，所以(0,0)映射到了(0,-1)。我们再看看(-1,0)和(1,0)，不难看出它们都在这个J的映射作用下保持不变。而无穷大会对应到(0,1)这个点上。不难验证，所有彭加莱平面上的点在J的作用下之后形成了一个以原点为中心的单位圆。这个圆就被称为彭加莱元。
如果我们用复数z来描述彭加莱平面上的所有点，那么变换J就可以写为下面这样的函数：
<math>
J(z)=\frac{i z+1}{z+i}
</math>
我们不妨验证一下，将<math>z=0</math>代入上式就得到，<math>J(0)=-i</math>，这和上面得到的计算结果是一模一样的。
实质上这个变换的本质就是在于将彭加莱平面的x轴沿着i这个点为中心卷起来，形成了彭加莱圆盘的外围的圆。
===度规===
在彭加莱圆盘上，对于任意点P(x,y)，该点的任意两个向量为<math>\textbf{u},\textbf{v}</math>，则度规定义为：
<math>g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-x^2-y^2}</math>
其中g为P点处的度规，d(u,v)为欧氏空间下的两向量的内积。
如果用复数来表示坐标的话，那么度规为：
<math>g(\textbf{u},\textbf{v})=\frac{2\textbf{u}\cdot \textbf{v}}{1-|z|^2}</math>
我们也可以根据映射J，以及彭加莱平面的度规来计算出彭加莱圆盘的度规：
<math>
ds^2=\frac{4dx^2+4dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}=\begin{pmatrix}dx&dy\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-x^2-y^2)^2}&0\\0&\frac{1}{(1-x^2-y^2)^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}
</math>
或者：
<math>
ds=\frac{2\sqrt{dx^2+dy^2}}{1-x^2-y^2}
</math>
由于彭加莱圆盘是一个圆，所以我们用极坐标描述会更方便，那么，在极坐标<math>(\theta,r)</math>下的度规为：
<math>
ds^2=\frac{d\theta^2+r^2dr^2}{(1-r^2)^2}=\begin{pmatrix}d\theta&dr\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{(1-r^2)^2}&0\\0&\frac{1}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\theta\\dr\end{pmatrix}
</math>
===距离计算===
由于映射<math>J: z\mapsto \frac{iz+1}{z+i}</math>是保距的，对于任意的彭加莱平面上的两点P,Q, 它们对应的复数分别为：z,z'，被这个映射映到彭加莱圆盘上，则在圆盘上的像J(P)和J(Q)之间的距离d<sub>disk</sub>(J(P),J(Q))，应该等于=d<sub>plane</sub>(P,Q)，而我们知道
<math>
d_{plane}(P,Q)=\log \frac{|z-\bar{z}'|+|z-z'|}{|z-\bar{z}'|-|z-z'|}
</math>
设J(P)和J(Q)对应的复数分别为w和w'，这样，根据映射我们可以反解出：
<math>
z=\frac{1-wi}{w-i},z'=\frac{1-w'i}{w'-i},\bar{z}'=\frac{1+\bar{w}'i}{\bar{w}'+i}
</math>
将其带入可以得到
<math>
d_{disk}(J(P),J(Q))=d_{plane}(P,Q)=\log{\frac{1+s}{1-s}}
</math>
其中，<math>s=\frac{|w-w'|}{|1-w\bar{w'}|}</math>
这就是彭加莱圆盘中的两点距离的表达式。特别的，当Q是彭加莱圆盘的圆心的时候，w'＝0，则距离表达式为：
<math>
d_{disk}(0,w)=\log{\frac{1+|w|}{1-|w|}}
</math>
其中，w为另一个点对应的复数。
===测地线===
[[File:PoincareHyperbolicDisk_700.gif|300px]]
在Poincare圆盘中，测地线为与圆盘外围的圆相垂直的圆弧，包括穿越圆心的直线，如上图。
因为从Poincare平面到Poincare圆盘的映射为一个等距映射，所以它将Poincare平面上的测地线也映射成为Poincare圆盘上的测地线。又因为在平面中的测地线是垂直于x轴的圆，所以在圆盘上，测地线为垂直于边界圆的圆。
===等距变换===
所有的彭加莱圆盘上的等距变换都可以用下列式子来表示：
<math>
\phi(z)=\frac{\alpha z+\beta}{\bar{\beta} z+\bar{\alpha}}, or, \phi(z)=\frac{\alpha \bar{z}+\beta}{\bar{\beta}\bar{z}+\bar{\alpha}}
</math>
其中，<math>\alpha,\beta</math>需要满足：
<math>
|\alpha|^2-|\beta|^2=1
</math>
===圆===
如果我们设w=a+bi, w'=x+yi, 圆的半径为r，则根据两点之间的距离公式，有：
<math>
\log{\frac{1+|w'-w|}{|1-w\bar{w'}|}}=r
</math>
反解出关于x和y的方程：
<math>
1-a^2 c^2-b^2 c^2+\left(-2 a+2 a c^2\right) x+\left(a^2+b^2-c^2\right) x^2+\left(-2 b+2 b c^2\right) y+\left(a^2+b^2-c^2\right) y^2=0
</math>
进一步化简可得：
<math>
\left(x-\frac{ac^2-a}{c^2-a^2-b^2}\right)^2+\left(y-\frac{bc^2-b}{c^2-a^2-b^2}\right)^2=\left(\frac{\left(-1+a^2+b^2\right) c}{\left(a^2+b^2-c^2\right)}\right)^2
</math>
其中<math>c=\frac{e^r+1}{e^r-1}</math>。可以看出，这是一个圆的方程。所以，在彭加莱圆盘中的双曲圆也是欧几里德空间中的圆。下面，我们画出一些圆的图形，如下：
[[File:hyperbolicpoincaredisk.png|500px]]
最外圈的黑色的圆为彭加莱圆盘。其它的圆均是半径为0.6的圆，但是它们的圆心(a,b)位于不同的位置，圆心分别为：(0,0),(0,0.5),(0,0.9)以及(0.5,0.5)，我们可以看到，在双曲空间中，圆心并不位于圆的正中心，越靠近边缘，圆心越往外靠近边缘。而且，圆越靠近边缘，圆的表观大小也会变小。
====圆的周长和面积====
虽然彭加莱圆盘中的双曲圆还表现为圆，但是它的周长与面积的计算则与欧氏空间中完全不同。这是因为，当我们计算周长或者面积的时候，我们实际上在计算曲线或者区域的积分，所以我们需要考虑双曲空间中的度规的影响，下面我们就来以圆心为(0,0)，双曲半径为R（对应的欧几里德空间中的圆的表观半径为：<math>r=\frac{e^R-1}{e^R+1}</math>的圆为例来计算圆的周长和面积。
首先，周长计算应为：
<math>
C((0,0),R)=\int_0^{2\pi}\frac{2r}{1-r^2}d\theta=2\pi \sinh(R)
</math>
类似地，圆的面积为：
<math>
A((0,0),R)=\int\int_{|z|<r}\frac{4}{(1-|z|^2)^2}d\sigma=\int_0^{R}dr\int_0^{2\pi}d\theta \frac{4r}{(1-r^2)^2}=2\pi(\cosh{R}-1)
</math>
由此我们可以看出，无论是周长还是面积，它们都与半径R呈现出指数行的增长（注意到<math>\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math>），所以双曲空间是一个沿半径增长非常快的空间。到达圆盘边缘的区域就已经增长到相当的空间区域了。这就是双曲空间的显著特征。
不难用双曲空间中的圆方程证明，对于中心不在原点的圆，其直径和面积仍然是上述表达式。虽然我们不能将圆在不同位置平移，但是双曲空间的均匀性导致了圆的周长和面积是处处相等的。
==扩展的彭加莱圆盘==
在彭加莱圆盘模型中，我们要时刻警惕，虽然整个空间沿着中心对称，但是从原点到任意一个点的表观距离并不等于双曲距离。如果设表观的欧氏距离为r<sub>e</sub>，双曲距离为r<sub>h</sub>，则这二者之间满足如下关系：
<math>
r_e=\tanh{r_h/2}
</math>
因此，为了让表观距离和实际的双曲距离一致，我们可以建立一个新的模型，这就是扩展的彭加莱模型，使得任意点到中心的距离刚好等于双曲距离。假设原始坐标系（彭加莱圆盘）上任意点的极坐标为<math>(r,\theta)</math>，而新空间下该点的极坐标为<math>(r',\theta')</math>，则存在关系：
<math>
r'=2\tanh^{-1}{r},\theta'=\theta
</math>
则这个新的空间<math>(r',\theta)</math>即是扩展的彭加莱圆盘。
我们知道由于<math>\tanh(x)</math>函数是一个S型函数，在x趋近于无穷大的时候，该函数值趋于1。所以，彭加莱圆盘具有1单位大小的半径。而在扩展的彭加莱圆盘中，该空间的圆半径为无穷大。因而，在彭加莱圆盘表示中，靠近边缘的点被极度地压缩了。而在扩展的模型中，就不会存在这种被极度压缩的现象。
===度规===
我们知道，在彭加莱圆盘模型中，一小段微元可以写成极坐标形式的度规为：
<math>
ds^2=4\frac{dr^2+r^2d\theta^2}{(1-r^2)^2}=4(dr,d\theta)\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \frac{r^2}{(1-r^2)^2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} dr\\ d\theta\end{pmatrix}
</math>
我们将坐标变换<math>r=\tanh(r'/2),\theta=\theta'</math>代入上式，并注意到：<math>dr^2=\frac{dr'^2}{4\cosh^2(r'/2)}</math>，则得到：
<math>
ds^2=4\frac{\frac{1}{4\cosh(r'/2)} dr'^2+\tanh^2(r'/2)d\theta'^2}{(1-\tanh^2(r'/2))^2}=dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2
</math>
或者，可以写为：
<math>
ds=\sqrt{dr'^2+\sinh^2(r')d\theta'^2}
</math>
===任意两点距离公式===
设任意两点P、Q，它们在扩展彭加莱圆盘中的极坐标为：<math>(r,\theta)</math>， <math>(r',\theta')</math>，设它们之间的双曲距离为x，则：
<math>
\cosh{x}=\cosh(r)\cosh(r')-\sinh(r)\sinh(r')\cos(\Delta \theta)
</math>
其中，<math>\Delta \theta=\pi-|\pi-|\theta-\theta'||</math>
这与彭加莱圆盘中的距离公式一致，下面我们给出证明。
'''证明'''：
首先根据彭加莱圆盘中的距离公式：
<math>x=\log\frac{1+s}{1-s}, s=\frac{|w-w'|}{1-w\bar{w'}}</math> ，并设w,w'在彭加莱圆盘中的极坐标分别为：<math>(R,\theta),(R',\theta')</math>
则
<math>
s=\sqrt{\frac{R^2+R'^2-2RR'\cos\Delta\theta}{1+R^2R'^2-2RR'\cos\Delta\theta}}
</math>
而：
<math>
\cosh(x)=\frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1+s}{1-s}+\frac{1-s}{1+s}\right)=\frac{1+s^2}{1-s^2}
</math>
将s代入，则得到：
<math>
\cosh(x)=\frac{1+R^2+R'^2+R^2R'^2-4RR'\cos\theta}{(1-R^2)(1-R'^2)}
</math>
另一方面，将<math>r=\tanh(R/2),r'=\tanh(R'/2)</math>代入下面公式：
<math>
\cosh(x)=\cosh(r)\cosh(r')-\sinh(r)\sinh(r')\cos(\Delta \theta)=\frac{1+R^2}{1-R^2}\cdot \frac{1+R'^2}{1-R'^2}-4 \frac{RR'\cos\Delta\theta}{(1-R^2)(1-R'^2)}
</math>
故而两者相等。
====近似表达式====
当r和r'都很大，而且x也较大的时候，我们有近似公式：
<math>x\approx r+r'+2\log{\sin(\Delta\theta/2)}</math>
当<math>\Delta\theta/2)</math>很小的时候，
<math>x\approx r+r'+2\log{\Delta\theta/2}</math>
====圆====
根据彭加莱圆模型与扩展模型中极坐标之间的关系：
<math>
r_e=\tanh(r_h/2)
</math>
又知道彭加莱圆模型中以某点为中心的圆方程，代入上述坐标变换公式，就能得到扩展模型中的圆。不难从图形上看出，这个圆被严重扭曲、拉伸了。
[[File:hyperbolicextendedpoincaredisk.png|500px]]
这些圆中心的坐标分别为：(0,0) 蓝色, (5,10) 紫色,(-3,3) 黄色,(1,10) 绿色，这些圆的半径都是10。我们看到，越远离坐标中心，圆的扭曲也越厉害。
==各个模型的比较==
上述文章介绍了三种双曲平面的表示模型：彭加莱平面、彭加莱圆盘以及扩展的彭加莱圆盘。我们可以通过下图来比较这三种模型：
[[File:combinedplanediskextended.png|800px]]
这是在扩展彭加莱圆盘模型中的一组同心圆，也就是每一条曲线都是以彭加莱圆盘中的坐标原点为中心，到圆心的双曲距离分别为1，2，……，10的圆。当把这组曲线画在彭加莱平面中的时候，我们就看到了一组以(0,1)为中心的双曲空间中的圆曲线（在彭加莱平面中，双曲圆的中心并不是欧氏圆的中心），而在彭加莱圆盘模型中，这组圆从里往外变得越来越紧密，这说明彭加莱圆盘越到外围空间越紧密。
==参考文献==
# Francis Bonahon: Low-dimensional geometry - From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots, American Mathematical Society, 1995
# John Stillwell: Geometry of Surfaces, Springer-Verlag New York, 1992
# Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on Hyperbolic Geometry, Springer-Verlag Berlin Hamberg, 1992
# Wikipedia: [https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix]
<references/>
==相关WIKI==
*[[双曲空间模型]]
*[[空间曲面]]
[[category:双曲几何]]