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创建页面，内容为“300px|framed|树的实例，节点中的数字为A<sub>i</sub>，旁边的数字为C<sub>i</sub> 所谓树的异速标度律是指C<sub>i</sub…”
[[File:treeaici.PNG|300px|framed|树的实例，节点中的数字为A<sub>i</sub>，旁边的数字为C<sub>i</sub>]]
所谓树的异速标度律是指C<sub>i</sub>和A<sub>i</sub>之间的幂律关系：
<math>
C_i=cA_i^{\eta}
</math>
其中A<sub>i</sub>是指以任意节点i为根的子树所包含的节点的个数，而C<sub>i</sub>则是指该子树上所有节点的A<sub>j</sub>之和，即：
<math>
C_i=\sum_{j\in Tree_i}A_j
</math>
其中Tree<sub>i</sub>表示以i为根的子树。c为一常数，η为异速标度律指数，它表示该树的垂直化程度。若整个树越扁平，则η指数越小，反之η越大。
右图展示了一棵树的实例，每个节点的A<sub>i</sub>写在了节点中，而C<sub>i</sub>则写到了每个节点的旁边。
==链和星状结构==
为了展示η指数与树的扁平化程度之间的关系。我们来看两个极端的例子，一个是星型的网络，它是一种极端的扁平化结构，另外一个是一条链，它是一种极端的垂直的结构<ref name="universal">{{cite journal|title=Universal scaling relations in food webs|first1=Diego|last1=Garlaschelli|first2=Guido|last2=Caldarelli|first3=Luciano|last3=Pietronero|journal=Nature|year=2003|volume= 423|page= 165-168}}</ref>。
[[File:chain-star.PNG|300px]]
假设树中的节点总数就是N，对于左图链状结构来说，从尾端数第i个节点的：
<math>
A_i=i
</math>
该节点的C<sub>i</sub>为：
<math>
C_i=\sum_{j=1}^i A_j=\sum_{j=1}^ij=\frac{j(j+1)}{2}=\frac{A_i(A_i+1)}{2}\sim A_i^2
</math>
因此，链状网络的异速标度律指数为2。而对于星型节点来说，所有叶节点的A<sub>i</sub>=C<sub>i</sub>=1，但是树根的
<math>A_i=N</math>
而：
<math>C_i=N+1\times N=2N=2A_i\sim A_i</math>
所以，对于星形树来说，异速标度律指数η=1。对于更一般的树，它一定介于完全的链状结构和星型结构之间，因此幂律指数η就介于1和2之间。
==生成树的异速标度律==
Frank和Murrell等人更进一步地探索了树状结构与异速标度律指数之间的关系<ref name="trees">{{cite journal|title=A simple explanation for universal scaling rela-
tions in food webs|first1=F.|last1=Frank|first2=D.|last2=Murrell|journal=Ecology|year=2005|volume=86|page=325-3263}}</ref>。首先，它们构建了一个简单的随机生成树模型，该模型模拟了树的随机生长。该模型有两个参数β和θ，它们控制了整个树的形状。β控制的是与根节点直接相连的节点占总节点数的比例，θ控制的是树的平均深度。
首先，让βN个节点附着在根节点上，形成第一层节点；
然后，在每一时刻，就会有一个节点加入该树状结构中，其中这个新加节点j会随机地附着在某一个该树上的节点i上作为i的子节点，那么，附着在i上的概率由i所在树的深度决定，即按照概率：
<math>
P_{ij}=\frac{t_i^{-\theta}}{\sum_{k\in Tree}t_k^{-\theta}}
</math>
其中t<sub>k</sub>表示k节点所在的深度。也就是说j会优先附着在t<sub>i</sub><sup>-θ</sup>较大的节点上。如果θ越大，则j更偏好离根较近的节点，反之则更倾向于附着在较深的节点上。
所以如果θ越大，β越小，就会得到越深的树。
下面，我们来看两棵由模型生成的树（β相同，都为0.1）：
[[File:TreeExample.PNG|600px]]
接下来，我们就可以变换不同的θ和β的组合而创造不同的树结构，并计算出这些树的η数值<ref name="trees"/>。
[[File:spanningtreeallometry.PNG|400px]]
这是2张等高线图，其中横坐标和纵坐标分别为θ和β，等高线标示了η（上）和平均路径长度（下，也就是树的平均深度）。可以看出，随着θ的升高，η在变小，同时平均路径长度在变小，这说明树在变得不断地扁平。同时，随着β的升高，η和平均路径长度也在变小。由此可以看出，实际上η和平均路径长度是正相关的，如下图<ref name="trees"/>：
[[File:meanlengthandeta.PNG|400px]]
==η的含义==
在文章<ref name="banavar">{{cite journal|title= Size and form in efficient transportation networks|journal=Nature|volume=399|page=130-132|first=J.|last=Banavar|first1=A.|last1=Maritan|first2=A.|last2=Rinaldo|year=1932}}</ref>和<ref name="universal"/>中，作者将η解释为输运树的效率，其中输运效率是指从源（根）到所有节点的平均路径长度。因此，路径越短，整个树越有效率。
如果从扁平化和垂直化的角度来说，η也可以理解为网络的集中性程度。如果将整个树理解为一个公司的组织架构，那么η越大，结构越垂直化，因此权利越集中在树的上层，反过来，树状结构越扁平，权利越分散。
==参考文献==
<references/>
==相关WIKI==
[[流网络的异速标度律]]
[[复杂网络]]
[[category:流网络]][[category:复杂网络]][[category:异速律]]
[[category:旧词条迁移]]
所谓树的异速标度律是指C<sub>i</sub>和A<sub>i</sub>之间的幂律关系：
<math>
C_i=cA_i^{\eta}
</math>
其中A<sub>i</sub>是指以任意节点i为根的子树所包含的节点的个数，而C<sub>i</sub>则是指该子树上所有节点的A<sub>j</sub>之和，即：
<math>
C_i=\sum_{j\in Tree_i}A_j
</math>
其中Tree<sub>i</sub>表示以i为根的子树。c为一常数，η为异速标度律指数，它表示该树的垂直化程度。若整个树越扁平，则η指数越小，反之η越大。
右图展示了一棵树的实例，每个节点的A<sub>i</sub>写在了节点中，而C<sub>i</sub>则写到了每个节点的旁边。
==链和星状结构==
为了展示η指数与树的扁平化程度之间的关系。我们来看两个极端的例子，一个是星型的网络，它是一种极端的扁平化结构，另外一个是一条链，它是一种极端的垂直的结构<ref name="universal">{{cite journal|title=Universal scaling relations in food webs|first1=Diego|last1=Garlaschelli|first2=Guido|last2=Caldarelli|first3=Luciano|last3=Pietronero|journal=Nature|year=2003|volume= 423|page= 165-168}}</ref>。
[[File:chain-star.PNG|300px]]
假设树中的节点总数就是N，对于左图链状结构来说，从尾端数第i个节点的：
<math>
A_i=i
</math>
该节点的C<sub>i</sub>为：
<math>
C_i=\sum_{j=1}^i A_j=\sum_{j=1}^ij=\frac{j(j+1)}{2}=\frac{A_i(A_i+1)}{2}\sim A_i^2
</math>
因此，链状网络的异速标度律指数为2。而对于星型节点来说，所有叶节点的A<sub>i</sub>=C<sub>i</sub>=1，但是树根的
<math>A_i=N</math>
而：
<math>C_i=N+1\times N=2N=2A_i\sim A_i</math>
所以，对于星形树来说，异速标度律指数η=1。对于更一般的树，它一定介于完全的链状结构和星型结构之间，因此幂律指数η就介于1和2之间。
==生成树的异速标度律==
Frank和Murrell等人更进一步地探索了树状结构与异速标度律指数之间的关系<ref name="trees">{{cite journal|title=A simple explanation for universal scaling rela-
tions in food webs|first1=F.|last1=Frank|first2=D.|last2=Murrell|journal=Ecology|year=2005|volume=86|page=325-3263}}</ref>。首先，它们构建了一个简单的随机生成树模型，该模型模拟了树的随机生长。该模型有两个参数β和θ，它们控制了整个树的形状。β控制的是与根节点直接相连的节点占总节点数的比例，θ控制的是树的平均深度。
首先，让βN个节点附着在根节点上，形成第一层节点；
然后，在每一时刻，就会有一个节点加入该树状结构中，其中这个新加节点j会随机地附着在某一个该树上的节点i上作为i的子节点，那么，附着在i上的概率由i所在树的深度决定，即按照概率：
<math>
P_{ij}=\frac{t_i^{-\theta}}{\sum_{k\in Tree}t_k^{-\theta}}
</math>
其中t<sub>k</sub>表示k节点所在的深度。也就是说j会优先附着在t<sub>i</sub><sup>-θ</sup>较大的节点上。如果θ越大，则j更偏好离根较近的节点，反之则更倾向于附着在较深的节点上。
所以如果θ越大，β越小，就会得到越深的树。
下面，我们来看两棵由模型生成的树（β相同，都为0.1）：
[[File:TreeExample.PNG|600px]]
接下来，我们就可以变换不同的θ和β的组合而创造不同的树结构，并计算出这些树的η数值<ref name="trees"/>。
[[File:spanningtreeallometry.PNG|400px]]
这是2张等高线图，其中横坐标和纵坐标分别为θ和β，等高线标示了η（上）和平均路径长度（下，也就是树的平均深度）。可以看出，随着θ的升高，η在变小，同时平均路径长度在变小，这说明树在变得不断地扁平。同时，随着β的升高，η和平均路径长度也在变小。由此可以看出，实际上η和平均路径长度是正相关的，如下图<ref name="trees"/>：
[[File:meanlengthandeta.PNG|400px]]
==η的含义==
在文章<ref name="banavar">{{cite journal|title= Size and form in efficient transportation networks|journal=Nature|volume=399|page=130-132|first=J.|last=Banavar|first1=A.|last1=Maritan|first2=A.|last2=Rinaldo|year=1932}}</ref>和<ref name="universal"/>中，作者将η解释为输运树的效率，其中输运效率是指从源（根）到所有节点的平均路径长度。因此，路径越短，整个树越有效率。
如果从扁平化和垂直化的角度来说，η也可以理解为网络的集中性程度。如果将整个树理解为一个公司的组织架构，那么η越大，结构越垂直化，因此权利越集中在树的上层，反过来，树状结构越扁平，权利越分散。
==参考文献==
<references/>
==相关WIKI==
[[流网络的异速标度律]]
[[复杂网络]]
[[category:流网络]][[category:复杂网络]][[category:异速律]]
[[category:旧词条迁移]]