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第11行：
第11行： − a point ''x'' in ''X'' is called periodic point if there exists an ''n'' so that 第17行：
第16行： − where <math>f_n</math> is the ''n''th [[iterated function|iterate]] of ''f''. The smallest positive [[integer]] ''n'' satisfying the above is called the ''prime period'' or ''least period'' of the point ''x''. If every point in ''X'' is a periodic point with the same period ''n'', then ''f'' is called ''periodic'' with period ''n'' (this is not to be confused with the notion of a [[periodic function]]). 第23行：
第21行： − If there exist distinct ''n'' and ''m'' such that <math>f_n(x) = f_m(x)</math> − then ''x'' is called a '''preperiodic point'''. All periodic points are preperiodic. − If ''f'' is a [[diffeomorphism]] of a [[differentiable manifold]], so that the [[derivative]] <math>f_n^\prime</math> is defined, then one says that a periodic point is ''hyperbolic'' if 第37行：
第32行： − that it is ''[[Attractor|attractive]]'' if :<math>|f_n^\prime|< 1,</math> − and it is ''repelling'' if:<math>|f_n^\prime|> 1.</math> − If the [[dimension]] of the [[stable manifold]] of a periodic point or fixed point is zero, the point is called a ''source''; if the dimension of its [[unstable manifold]] is zero, it is called a ''sink''; and if both the stable and unstable manifold have nonzero dimension, it is called a ''saddle'' or [[saddle point]]. 第53行：
第45行： − A period-one point is called a [[fixed point (mathematics)|fixed point]]. 第63行：
第54行： − exhibits periodicity for various values of the parameter ''r''. For ''r'' between 0 and 1, 0 is the sole periodic point, with period 1 (giving the sequence 0, 0, 0, ..., which [[attractor|attracts]] all orbits). For ''r'' between 1 and 3, the value 0 is still periodic but is not attracting, while the value {{nowrap|(''r'' − 1) / ''r''}} is an attracting periodic point of period 1. With ''r'' greater than 3 but less than 1 + {{radic|6}}, there are a pair of period-2 points which together form an attracting sequence, as well as the non-attracting period-1 points 0 and {{nowrap|(''r'' − 1) / ''r''}}. As the value of parameter ''r'' rises toward 4, there arise groups of periodic points with any positive integer for the period; for some values of ''r'' one of these repeating sequences is attracting while for others none of them are (with almost all orbits being chaotic).
→迭代函数
<math>f: X \to X,</math>
<math>f: X \to X,</math>
<math>X</math>中的点<math>x</math>称为周期点，如果存在一个<math>n</math>使
<math>X</math>中的点<math>x</math>称为周期点，如果存在一个<math>n</math>使
<math>\ f_n(x) = x</math>
<math>\ f_n(x) = x</math>
其中<math>f_n</math>为<math>f</math>的第<math>n</math>次迭代。满足上述条件的最小正整数<math>n</math>称为点<math>x</math>的素数周期prime period或最小周期。如果<math>X</math>中的每一个点都是周期为<math>n</math>的周期点，那么<math>f</math>有周期性，周期为<math>n</math>(这不能和周期函数的概念混淆)。
其中<math>f_n</math>为<math>f</math>的第<math>n</math>次迭代。满足上述条件的最小正整数<math>n</math>称为点<math>x</math>的素数周期prime period或最小周期。如果<math>X</math>中的每一个点都是周期为<math>n</math>的周期点，那么<math>f</math>有周期性，周期为<math>n</math>(这不能和周期函数的概念混淆)。
如果存在不同的<math>n</math>和<math>m</math>使:<math>f_n(x) = f_m(x)</math>
如果存在不同的<math>n</math>和<math>m</math>使:<math>f_n(x) = f_m(x)</math>
那么<math>x</math>称为前周期点。所有周期点都是前周期点。
那么<math>x</math>称为前周期点。所有周期点都是前周期点。
:<math>|f_n^\prime|\ne 1,</math>
:<math>|f_n^\prime|\ne 1,</math>
如果<math>x</math>是微分流形的微分同胚，则定义了导数<math>f_n^\prime</math>，如果:<math>|f_n^\prime|\ne 1,</math>，那么<math>f</math>是双曲周期点，
如果<math>x</math>是微分流形的微分同胚，则定义了导数<math>f_n^\prime</math>，如果:<math>|f_n^\prime|\ne 1,</math>，那么<math>f</math>是双曲周期点，
如果:<math>|f_n^\prime|< 1,</math>，则称周期点<math>f</math>为吸引子，
如果:<math>|f_n^\prime|< 1,</math>，则称周期点<math>f</math>为吸引子，
如果:<math>|f_n^\prime|> 1.</math>，则称周期点<math>f</math>为排斥子。
如果:<math>|f_n^\prime|> 1.</math>，则称周期点<math>f</math>为排斥子。
如果周期点或不动点的稳定流形的维数为零，则称其为源点；如果不稳定流形的维数为零，则称其为汇点；如果稳定流形和不稳定流形都有非零维数，则称其为鞍点。
如果周期点或不动点的稳定流形的维数为零，则称其为源点；如果不稳定流形的维数为零，则称其为汇点；如果稳定流形和不稳定流形都有非零维数，则称其为鞍点。
===示例 ===
===示例 ===
周期为1的点也叫做[[不动点]]。
周期为1的点也叫做[[不动点]]。
:<math>x_{t+1}=rx_t(1-x_t), \qquad 0 \leq x_t \leq 1, \qquad 0 \leq r \leq 4</math>
:<math>x_{t+1}=rx_t(1-x_t), \qquad 0 \leq x_t \leq 1, \qquad 0 \leq r \leq 4</math>
参数<math>r</math>随着取值的不同，呈现周期性。对于介于0到1之间的<math>r</math>，0是唯一的周期点，周期为1（给出了吸引所有轨道的序列0,0,0，... ）。对于介于1到3之间的<math>r</math>，值0仍然是周期性的，但不是吸引点，而该值是周期1的吸引周期点。当<math>r</math>大于3但小于1+时，存在一对周期2的点，它们共同构成一个吸引序列，非吸引周期1点为0。当参数<math>r</math>的值上升到4时，会出现周期为正的一组周期点；对于<math>r</math>的某些值，这些重复序列中的一个被吸引，而对于其他值，则没有一个被吸引(几乎所有的轨道都是混乱的)。
参数<math>r</math>随着取值的不同，呈现周期性。对于介于0到1之间的<math>r</math>，0是唯一的周期点，周期为1（给出了吸引所有轨道的序列0,0,0，... ）。对于介于1到3之间的<math>r</math>，值0仍然是周期性的，但不是吸引点，而该值是周期1的吸引周期点。当<math>r</math>大于3但小于1+时，存在一对周期2的点，它们共同构成一个吸引序列，非吸引周期1点为0。当参数<math>r</math>的值上升到4时，会出现周期为正的一组周期点；对于<math>r</math>的某些值，这些重复序列中的一个被吸引，而对于其他值，则没有一个被吸引(几乎所有的轨道都是混乱的)。