更改

我们前面讨论的在标准方格的有限矩形网格上的沙堆模型可以看做以下定义的一个特例，在图<math>G=(V,E)</math>，添加一个吸收顶点，并将其连接到边界上的顶点，使得<math>G</math>的每个非吸收顶点的度数为4。以这种方式，也可以定义标准正方形网格（或任何其他类型晶格）的非矩形格上的沙堆模型: 用<math>\mathbb{Z}^2</math>横截<math>\mathbb{R}^2</math>的一些有界子集<math>S</math>，收缩其两个端点不在<math>S\cap\mathbb{Z}^2</math>中的<math>\mathbb{Z}^2</math>的每条边。<math>S\cap\mathbb{Z}^2</math>之外的单独一个剩余顶点构成了最终沙堆图的吸收顶点。

我们前面讨论的在标准方格的有限矩形网格上的沙堆模型可以看做以下定义的一个特例，在图<math>G=(V,E)</math>，添加一个吸收顶点，并将其连接到边界上的顶点，使得<math>G</math>的每个非吸收顶点的度数为4。以这种方式，也可以定义标准正方形网格（或任何其他类型晶格）的非矩形格上的沙堆模型: 用<math>\mathbb{Z}^2</math>横截<math>\mathbb{R}^2</math>的一些有界子集<math>S</math>，收缩其两个端点不在<math>S\cap\mathbb{Z}^2</math>中的<math>\mathbb{Z}^2</math>的每条边。<math>S\cap\mathbb{Z}^2</math>之外的单独一个剩余顶点构成了最终沙堆图的吸收顶点。

==瞬态和循环构型==

==常返构型和瞬态构型==

在上面定义的沙堆自动机的动力学过程中，一些稳定状态的构型（对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，<math>0\leq z(v)<4</math>）会无限频繁的出现，而另一些则只能出现有限次（如果真的发生的话）。前者被称为“常返构型”，而后者被称为“瞬态构型”。因此，常返性构型由包含一类稳定的非负构型组成，这些构型可以从任何其他稳定构型中，通过反复向顶点添加沙粒，产生崩塌而得到。很容易看出，“最差稳定构型”（马上就不稳定了）<math>zum</math>就是每个顶点都有<math>z_m(v)=deg(v)-1</math>颗沙粒的情况，这可从任何其他稳定构型得到（通过向每个顶点添加<math>deg(v)-z(v)-1\geq 0</math>颗沙粒）。因此，也就是说，所有常返构型可以从最差稳定构型开始，通过添加沙粒，崩塌再稳定后得到。

在上面定义的沙堆自动机的动力学过程中，一些稳定状态的构型（对于所有<math>v\in G\setminus\{s\}</math>，<math>0\leq z(v)<4</math>）会无限频繁的出现，而另一些则只能出现有限次（如果真的发生的话）。前者被称为“常返构型”，而后者被称为“瞬态构型”。因此，常返性构型由包含一类稳定的非负构型组成，这些构型可以从任何其他稳定构型中，通过反复向顶点添加沙粒，产生崩塌而得到。很容易看出，“最差稳定构型”（马上就不稳定了）<math>zum</math>就是每个顶点都有<math>z_m(v)=deg(v)-1</math>颗沙粒的情况，这可从任何其他稳定构型得到（通过向每个顶点添加<math>deg(v)-z(v)-1\geq 0</math>颗沙粒）。因此，也就是说，所有常返构型可以从最差稳定构型开始，通过添加沙粒，崩塌再稳定后得到。