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第474行：
第474行： − − − If ''X'' ~ B(''n'', ''p'') and ''Y'' | ''X'' ~ B(''X'', ''q'') (the conditional distribution of ''Y'', given ''X''), then ''Y'' is a simple binomial random variable with distribution ''Y'' ~ B(''n'', ''pq''). 第488行：
第485行： − − :<math>\Pr[Y = m] &= \sum_{k = m}^{n} \Pr[Y = m \mid X = k] \Pr[X = k] \\[2pt]</math> 第500行：
第495行： − − :<math> \Pr[Y = m] = \sum_{k=m}^{n} \binom{n}{m} \binom{n-m}{k-m} p^k q^m (1-p)^{n-k} (1-q)^{k-m} </math> 第510行：
第503行： − :<math>&= \binom{n}{m} (pq)^m \left( \sum_{k=m}^n \binom{n-m}{k-m} \left(p(1-q)\right)^{k-m} (1-p)^{n-k} \right)</math> − − :<math> \Pr[Y = m] = \binom{n}{m} (pq)^m \left( \sum_{i=0}^{n-m} \binom{n-m}{i} (p - pq)^i (1-p)^{n-m - i} \right) </math>
→条件二项式
===条件二项式===
===条件二项式===
如果''X'' ~ B(''n'', ''p'')和''Y'' | 'X'' ~ B(''X'', ''q'')('Y''的条件分布，给定 。 ''X''），则''Y''是一个简单的二项式随机变量，其分布为''Y'' ~ B(''n'', ''pq'')。
如果''X'' ~ B(''n'', ''p'')和''Y'' | 'X'' ~ B(''X'', ''q'')('Y''的条件分布，给定 。 ''X''），则''Y''是一个简单的二项式随机变量，其分布为''Y'' ~ B(''n'', ''pq'')。
由于<math> X \sim B(n, p) </math>和<math> Y \sim B(X, q) </math>，由全概率公式，
由于<math> X \sim B(n, p) </math>和<math> Y \sim B(X, q) </math>，由全概率公式，
<math>P(p;\alpha,\beta) =\frac{p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}.</math>
<math>P(p;\alpha,\beta) =\frac{p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}.</math>
由于<math>\tbinom{n}{k} \tbinom{k}{m} = \tbinom{n}{m} \tbinom{n-m}{k-m},</math>上式可表示为
由于<math>\tbinom{n}{k} \tbinom{k}{m} = \tbinom{n}{m} \tbinom{n-m}{k-m},</math>上式可表示为
将 <math> p^k = p^m p^{k-m} </math> 进行分解，并将所有不依赖于 <math> k </math> 的项从总和中抽出，即可得到
将 <math> p^k = p^m p^{k-m} </math> 进行分解，并将所有不依赖于 <math> k </math> 的项从总和中抽出，即可得到
一种从二项分布中产生随机样本的方法是使用<font color="#ff8000">反演算法 inversion algorithm </font>。要做到这一点，我们必须计算从到的所有值的概率。(为了包含整个样本空间，这些概率的和应该接近于1。)然后，通过使用伪随机数生成器来生成介于0和1之间的样本，可以使用在第一步计算出的概率将计算出的样本转换成离散数。
一种从二项分布中产生随机样本的方法是使用<font color="#ff8000">反演算法 inversion algorithm </font>。要做到这一点，我们必须计算从到的所有值的概率。(为了包含整个样本空间，这些概率的和应该接近于1。)然后，通过使用伪随机数生成器来生成介于0和1之间的样本，可以使用在第一步计算出的概率将计算出的样本转换成离散数。
将 <math> i = k - m </math> 代入上述表达式后，我们得到了
将 <math> i = k - m </math> 代入上述表达式后，我们得到了
这个分布是由雅各布伯努利 Jacob Bernoulli推导出来的。他考虑了p = r/(r + s)的情形，其中 p 是成功的概率，r 和 s 是正整数。早些时候，布莱斯 · 帕斯卡 Blaise Pascal考虑过p = 1/2的情况。
这个分布是由雅各布伯努利 Jacob Bernoulli推导出来的。他考虑了p = r/(r + s)的情形，其中 p 是成功的概率，r 和 s 是正整数。早些时候，布莱斯 · 帕斯卡 Blaise Pascal考虑过p = 1/2的情况。