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* 在数学中，标度不变性通常指单个函数或曲线的不变性。与此密切相关的概念是'''自相似性 Self-similarity'''，其中函数或曲线在膨胀的离散子集下是不变的。随机过程的概率分布也可能表现出这种标度不变性或自相似性。
* 在数学中，标度不变性通常指单个函数或曲线的不变性。与此密切相关的概念是'''自相似性 Self-similarity'''，其中函数或曲线在膨胀的离散子集下是不变的。随机过程的概率分布也可能表现出这种标度不变性或自相似性。
* 在'''经典场论 Classical Field Theory'''中，标度不变性最常用于整个理论在膨胀条件下的不变性。这些理论通常描述没有特征长度标度的经典物理过程。
* 在[[经典场论]]中，标度不变性最常用于整个理论在膨胀条件下的不变性。这些理论通常描述没有特征长度标度的经典物理过程。
* 在'''量子场论 Quantum Field Theory'''中，标度不变性可以用粒子物理学来解释。在标度不变的理论中，粒子相互作用的强度并不取决于所涉及粒子的能量。
* 在[[量子场论]]中，标度不变性可以用粒子物理学来解释。在标度不变的理论中，粒子相互作用的强度并不取决于所涉及粒子的能量。
* 在'''统计力学 Statistical Mechanics'''中，标度不变性是相变的一个特征。在相变或临界点附近，在所有长度标度上都出现了波动，因此，人们应该寻找一个明确的标度不变的理论来描述这一关键现象。这些理论是标度不变的统计场理论，在形式上与标度不变的量子场理论非常相似。
* 在[[统计力学]]中，标度不变性是相变的一个特征。在相变或临界点附近，在所有长度标度上都出现了波动，因此，人们应该寻找一个明确的标度不变的理论来描述这一关键现象。这些理论是标度不变的统计场理论，在形式上与标度不变的量子场理论非常相似。
* '''普适性 Universality'''是指差异巨大的微观系统在相变时可以表现出相同的行为。因此，许多不同系统中的相变可以用相同的基本标度不变理论来描述。
* '''普适性 Universality'''是指差异巨大的微观系统在相变时可以表现出相同的行为。因此，许多不同系统中的相变可以用相同的基本标度不变理论来描述。
* 一般来说，无量纲量是标度不变量。统计学中的类似概念是'''标准化矩 Standardized Moments'''，它是变量的标度不变统计量，而非标准化矩不是。
* 一般来说，无量纲量是标度不变量。统计学中的类似概念是'''标准化矩 Standardized Moments'''，它是变量的标度不变统计量，而非标准化矩不是。
许多标变函数的实例是单项式：<math>f（x）=x^n</math>，其中 {{math|Δ {{=}} ''n''}}，且有：
许多标变函数的实例是单项式：<math>f（x）=x^n</math>，其中 {{math|Δ {{=}} ''n''}}，且有：
<math>f（\lambda x） = （\lambda x）^n = \lambda^n f（x）~</math>。
:<math>f（\lambda x） = （\lambda x）^n = \lambda^n f（x）~</math>。
如果{{math|''P''（''f'' ）}}是频率{{mvar|f }}处的平均期望幂，那么噪声依下式标度变化：
如果{{math|''P''（''f'' ）}}是频率{{mvar|f }}处的平均期望幂，那么噪声依下式标度变化：
<math>P（f） = \lambda^{-\Delta} P（\lambda f）</math>
:<math>P（f） = \lambda^{-\Delta} P（\lambda f）</math>
'''Tweedie分布'''是'''指数弥散模型 Exponential Dispersion Models'''的一种特殊情况，是一类用于描述广义线性模型误差分布的统计模型，在可加卷积和再生卷积以及标度变换下具有闭包性<ref name="Jørgensen1997">{{cite book |last=Jørgensen |first=B. |year=1997 |title=The Theory of Dispersion Models |publisher=Chapman & Hall |location=London |isbn=978-0412997112 }}</ref>。这包括一些常见的分布：正态分布、'''泊松分布 Poisson distribution'''和'''伽玛分布 Gamma Distribution'''，以及其他一些非同寻常的分布，如复合泊松-伽玛分布、正稳定分布和极端稳定分布。由于它们固有的标度不变性，Tweedie随机变量 y 显示方差var（''Y''）与均值E（''Y''）之间服从幂律关系：
'''Tweedie分布'''是'''指数弥散模型 Exponential Dispersion Models'''的一种特殊情况，是一类用于描述广义线性模型误差分布的统计模型，在可加卷积和再生卷积以及标度变换下具有闭包性<ref name="Jørgensen1997">{{cite book |last=Jørgensen |first=B. |year=1997 |title=The Theory of Dispersion Models |publisher=Chapman & Hall |location=London |isbn=978-0412997112 }}</ref>。这包括一些常见的分布：正态分布、'''泊松分布 Poisson distribution'''和'''伽玛分布 Gamma Distribution'''，以及其他一些非同寻常的分布，如复合泊松-伽玛分布、正稳定分布和极端稳定分布。由于它们固有的标度不变性，Tweedie随机变量 y 显示方差var（''Y''）与均值E（''Y''）之间服从幂律关系：
<math>\text{var}\,（Y） = a[\text{E}\,（Y）]^p</math>，
:<math>\text{var}\,（Y） = a[\text{E}\,（Y）]^p</math>，
在'''宇宙物理学 Physical Cosmology'''，'''宇宙微波背景 Cosmic Microwave Background'''的空间分布功率频谱近似于标度不变函数。尽管在数学上这意味着该频谱服从幂律，但在宇宙学中“标度不变”一词表明，'''原始涨落 Primordial Fluctuations'''的振幅{{math|''P''（''k''）}}，作为波数{{mvar|k}}的函数，是近似常数，也就是一个平谱。这种模式与'''宇宙膨胀论 Cosmic Inflation'''的主张是一致的。
在'''宇宙物理学 Physical Cosmology'''，'''宇宙微波背景 Cosmic Microwave Background'''的空间分布功率频谱近似于标度不变函数。尽管在数学上这意味着该频谱服从幂律，但在宇宙学中“标度不变”一词表明，'''原始涨落 Primordial Fluctuations'''的振幅{{math|''P''（''k''）}}，作为波数{{mvar|k}}的函数，是近似常数，也就是一个平谱。这种模式与'''宇宙膨胀论 Cosmic Inflation'''的主张是一致的。
==经典场论中的标度不变性==
==经典场论中的标度不变性==
对于一个具有标度不变性的理论，它的场方程应该在坐标的缩放下保持不变，并结合特定的场的缩放：
对于一个具有标度不变性的理论，它的场方程应该在坐标的缩放下保持不变，并结合特定的场的缩放：
<math>x\rightarrow\lambda x~</math>，
:<math>x\rightarrow\lambda x~</math>，
<math>\varphi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\varphi~</math>。
:<math>\varphi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\varphi~</math>。
对于特定的场构型''φ''（''x''），要具有标度不变性，我们就要满足：
对于特定的场构型''φ''（''x''），要具有标度不变性，我们就要满足：
<math>\varphi（x）=\lambda^{-\Delta}\varphi（\lambda x）</math>。其中 {{mvar|Δ}} 是场的标度维数。
:<math>\varphi（x）=\lambda^{-\Delta}\varphi（\lambda x）</math>。其中 {{mvar|Δ}} 是场的标度维数。
在没有电荷或电流的情况下，这些场方程采用波动方程的形式：
在没有电荷或电流的情况下，这些场方程采用波动方程的形式：
<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math>
:<math>\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}</math>
<math>\nabla^2\mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math>
:<math>\nabla^2\mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}</math>
其中 c 是光速。
其中 c 是光速。
这些场方程在进行如下变换下是不变的：
这些场方程在进行如下变换下是不变的：
<math>x\rightarrow\lambda x</math>，
:<math>x\rightarrow\lambda x</math>，
<math>t\rightarrow\lambda t</math>。
:<math>t\rightarrow\lambda t</math>。
此外，已知'''E'''（'''x''', ''t''）和'''B'''（'''x''', ''t''）是麦克斯韦方程组的解，则可以认为'''E'''（λ'''x''', λ''t''）和'''B'''（λ'''x''', λ''t''）也是解。
此外，已知'''E'''（'''x''', ''t''）和'''B'''（'''x''', ''t''）是麦克斯韦方程组的解，则可以认为'''E'''（λ'''x''', λ''t''）和'''B'''（λ'''x''', λ''t''）也是解。
首先考虑线性理论。像上述的电磁场方程一样，这个理论的运动方程也是一个波动方程：
首先考虑线性理论。像上述的电磁场方程一样，这个理论的运动方程也是一个波动方程：
<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi = 0</math>，
:<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi = 0</math>，
并且在进行如下变换时是不变的：
并且在进行如下变换时是不变的：
<math>x\rightarrow\lambda x,</math>
:<math>x\rightarrow\lambda x,</math>
<math>t\rightarrow\lambda t</math>。
:<math>t\rightarrow\lambda t</math>。
无质量是指在场方程中没有<math>\propto m^2\varphi</math>项。这一项通常称为“质量”项，它会破坏上述变换下的不变性。在'''相对论场理论 Relativistic Field Theories'''中，质量标度{{mvar|m}}在物理上等同于一个固定的长度标度：
无质量是指在场方程中没有<math>\propto m^2\varphi</math>项。这一项通常称为“质量”项，它会破坏上述变换下的不变性。在'''相对论场理论 Relativistic Field Theories'''中，质量标度{{mvar|m}}在物理上等同于一个固定的长度标度：
<math>L=\frac{\hbar}{mc}</math>，
:<math>L=\frac{\hbar}{mc}</math>，
上面例子中的场方程在场中都是线性的，这意味着标度维数{{mvar|Δ}}并不是那么重要。然而，通常要求标量场的作用是无量纲的，这就固定了φ的标度维数。特别是：
上面例子中的场方程在场中都是线性的，这意味着标度维数{{mvar|Δ}}并不是那么重要。然而，通常要求标量场的作用是无量纲的，这就固定了φ的标度维数。特别是：
<math>\Delta=\frac{D-2}{2},</math>
:<math>\Delta=\frac{D-2}{2},</math>
其中{{mvar|D}}是空间维数和时间维数的总和。
其中{{mvar|D}}是空间维数和时间维数的总和。
已知φ的标度维数，则无质量标量场理论的某些非线性修正也是标度不变的。例如，{{mvar|D}}=4的无质量'''φ<sup>4</sup>theory φ<sup>4</sup>理论'''。场方程是：
已知φ的标度维数，则无质量标量场理论的某些非线性修正也是标度不变的。例如，{{mvar|D}}=4的无质量'''φ<sup>4</sup>theory φ<sup>4</sup>理论'''。场方程是：
<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0</math>。
:<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0</math>。
（注意，{{mvar|φ}}4的名称来自拉格朗日量的形式，它包含{{mvar|φ}}的四次幂）
（注意，{{mvar|φ}}4的名称来自拉格朗日量的形式，它包含{{mvar|φ}}的四次幂）
此处，{{math|''G''（''r''）}}理解为标量场的相关函数
此处，{{math|''G''（''r''）}}理解为标量场的相关函数
<math>\langle\phi（0）\phi（r）\rangle\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}</math>。
:<math>\langle\phi（0）\phi（r）\rangle\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}</math>。
由上可知，这种相变的临界指数也是异常维数。这是因为标量场的经典维数:
由上可知，这种相变的临界指数也是异常维数。这是因为标量场的经典维数:
<math>\Delta=\frac{D-2}{2}</math>
:<math>\Delta=\frac{D-2}{2}</math>
修正为：
修正为：
<math>\Delta=\frac{D-2+\eta}{2},</math>
:<math>\Delta=\frac{D-2+\eta}{2},</math>
其中{{mvar|D}} 是伊辛模型格子的维数。
其中{{mvar|D}} 是伊辛模型格子的维数。
对于维度{{math|''D'' ≡ 4−''ε''}}，可以使用epsilon展开式近似地计算{{mvar|η}}，并且可以发现：
对于维度{{math|''D'' ≡ 4−''ε''}}，可以使用epsilon展开式近似地计算{{mvar|η}}，并且可以发现：
<math>\eta=\frac{\epsilon^2}{54}+O（\epsilon^3）</math>。
:<math>\eta=\frac{\epsilon^2}{54}+O（\epsilon^3）</math>。
另一方面，在二维情况下，伊辛模型是完全可解的。特别地，它等价于'''最小模型 Minimal Model'''之一，即一组很好理解的共形场论，并且可以精确地计算η（和其他临界指数）：
另一方面，在二维情况下，伊辛模型是完全可解的。特别地，它等价于'''最小模型 Minimal Model'''之一，即一组很好理解的共形场论，并且可以精确地计算η（和其他临界指数）：
<math>\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}</math>。
:<math>\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}</math>。
===施拉姆—洛纳演化===
===施拉姆—洛纳演化===
* 逆平方势
* 逆平方势
* 幂律
* [[幂律]]
* 无尺度网络定律
* 无尺度网络定律