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→吸引子的类型
===驻点===
===驻点===
[[file:Critical_orbit_3d.png |右|拇指|根据[[复二次多项式]]演化的复数的弱吸引不动点。相空间是水平复平面；纵轴测量访问复平面中的点的频率。复平面中峰值频率正下方的点是不动点吸引子。]]
[[file:Critical_orbit_3d.png |右|thumb|400px|根据[[复二次多项式]]演化的复数的弱吸引不动点。相空间是水平复平面；纵轴测量访问复平面中的点的频率。复平面中峰值频率正下方的点是不动点吸引子。]]
函数或变换的不动点是能够通过函数或变换映射到自身的点。如果我们把动力系统的演化看作是一系列的转变，那么在每一转变中，都可能会有一个点是固定的——当然也可能没有。动力系统的最终状态与该系统演化函数的吸引固定点相对应，例如阻尼摆的中心底部位置，玻璃杯中晃动水的水平线和平坦线，在碗的底部中心滚动的大理石。但是动态系统的不动点不一定是系统的吸引子。例如，如果装有滚动大理石的碗被倒置，大理石在碗的顶部达到平衡状态，碗的中心底部（现在是顶部）就是一个固定的状态但不是一个吸引子。这等价于稳定平衡点和不稳定平衡点之差。如果一个大理石在一个倒碗（山）的顶部，这个在碗（山）的顶部的点是一个固定点（平衡），但不是一个吸引子（稳定的平衡）。
函数或变换的不动点是能够通过函数或变换映射到自身的点。如果我们把动力系统的演化看作是一系列的转变，那么在每一转变中，都可能会有一个点是固定的——当然也可能没有。动力系统的最终状态与该系统演化函数的吸引固定点相对应，例如阻尼摆的中心底部位置，玻璃杯中晃动水的水平线和平坦线，在碗的底部中心滚动的大理石。但是动态系统的不动点不一定是系统的吸引子。例如，如果装有滚动大理石的碗被倒置，大理石在碗的顶部达到平衡状态，碗的中心底部（现在是顶部）就是一个固定的状态但不是一个吸引子。这等价于稳定平衡点和不稳定平衡点之差。如果一个大理石在一个倒碗（山）的顶部，这个在碗（山）的顶部的点是一个固定点（平衡），但不是一个吸引子（稳定的平衡）。
===奇异吸引子===
===奇异吸引子===
[[file:Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|200px|right|洛伦兹奇异吸引子的图， ''ρ'' = 28, ''σ'' = 10, ''β'' = 8/3]]
[[file:Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|200px|right|洛伦兹奇异吸引子的图， ''ρ'' = 28, ''σ'' = 10, ''β'' = 8/3]]
如果吸引子具有分形结构，则称为“奇异”。这种情况通常发生在在当它的动力学系统符合混沌理论时，但是奇异的非混沌吸引子也存在。如果一个奇异吸引子是混沌的，表现出对初始条件的敏感依赖性，那么在吸引子上两个任意接近的备选初始点经过多次迭代后，都会指向任意相距很远的点（受吸引子的限制），而在经历其他次数的迭代之后，会指向任意接近的点。因此，具有混沌吸引子的动态系统是局部不稳定但全局稳定的：一旦一些序列进入吸引子，附近的点就会发散，但不会离开。<ref>{{cite journal | author = Grebogi Celso, Ott Edward, Yorke James A | year = 1987 | title = Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics | url = | journal = Science | volume = 238 | issue = 4827| pages = 632–638 | doi = 10.1126/science.238.4827.632 | pmid = 17816542 | bibcode = 1987Sci...238..632G }}</ref>
如果吸引子具有分形结构，则称为“奇异”。这种情况通常发生在在当它的动力学系统符合混沌理论时，但是奇异的非混沌吸引子也存在。如果一个奇异吸引子是混沌的，表现出对初始条件的敏感依赖性，那么在吸引子上两个任意接近的备选初始点经过多次迭代后，都会指向任意相距很远的点（受吸引子的限制），而在经历其他次数的迭代之后，会指向任意接近的点。因此，具有混沌吸引子的动态系统是局部不稳定但全局稳定的：一旦一些序列进入吸引子，附近的点就会发散，但不会离开。<ref>{{cite journal | author = Grebogi Celso, Ott Edward, Yorke James A | year = 1987 | title = Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics | url = | journal = Science | volume = 238 | issue = 4827| pages = 632–638 | doi = 10.1126/science.238.4827.632 | pmid = 17816542 | bibcode = 1987Sci...238..632G }}</ref>
术语“奇异吸引子”由大卫·吕埃勒 David Ruelle和弗洛里斯·塔肯斯 Floris Takens提出，用来描述吸引子——产生于刻画流体的系统的一系列分叉。<ref>{{cite journal |last=Ruelle |first=David |last2=Takens |first2=Floris |date=1971 |title=On the nature of turbulence |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857186 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=20 |issue=3 |pages=167–192 |doi=10.1007/bf01646553}}</ref>奇异吸引子通常在几个方向上可微，但有些吸引子与康托尘类似，因此不可微。在噪声条件下，人们也能发现奇异吸引子，这可以用来支持Sinai-Ruelle-Bowen型的不变随机概率测度。<ref name="Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures">{{cite journal|author1=Chekroun M. D. |author2=Simonnet E. |author3=Ghil M. |author-link3=Michael Ghil |name-list-style=amp |year = 2011 |title = Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures |Examples of strange attractors include the double-scroll attractor, Hénon attractor, Rössler attractor, and Lorenz attractor. |journal = Physica D |volume = 240 |issue = 21 |pages = 1685–1700 |doi = 10.1016/j.physd.2011.06.005|citeseerx=10.1.1.156.5891 }}</ref>
术语“奇异吸引子”由大卫·吕埃勒 David Ruelle和弗洛里斯·塔肯斯 Floris Takens提出，用来描述吸引子——产生于刻画流体的系统的一系列分叉。<ref>{{cite journal |last=Ruelle |first=David |last2=Takens |first2=Floris |date=1971 |title=On the nature of turbulence |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857186 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=20 |issue=3 |pages=167–192 |doi=10.1007/bf01646553}}</ref>奇异吸引子通常在几个方向上可微，但有些吸引子与康托尘类似，因此不可微。在噪声条件下，人们也能发现奇异吸引子，这可以用来支持Sinai-Ruelle-Bowen型的不变随机概率测度。<ref name="Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures">{{cite journal|author1=Chekroun M. D. |author2=Simonnet E. |author3=Ghil M. |author-link3=Michael Ghil |name-list-style=amp |year = 2011 |title = Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures |Examples of strange attractors include the double-scroll attractor, Hénon attractor, Rössler attractor, and Lorenz attractor. |journal = Physica D |volume = 240 |issue = 21 |pages = 1685–1700 |doi = 10.1016/j.physd.2011.06.005|citeseerx=10.1.1.156.5891 }}</ref>
动力学方程的参数随着方程的迭代而变化，具体值可能取决于初始参数。其中一个例子是得到深入研究的逻辑图，<math>x{n+1}=rx}n（1-xun）</math>，图中显示了参数r各种值的吸引域。如果<math>r=2.6</math>，则<math>x<0</math>的所有起始x值将迅速使函数值变为负无穷大；<math>x>0</math>的起始x值将变为正无穷大。但是对于<math>0<x<1</math>，x值会迅速收敛到<math>x\approx0.615</math>，也就是说，在这个r值下，x的单个值是函数行为的吸引子。对于r的其他值，x可以取多个值：如果r为3.2，<math>0<x<1</math>的起始值将导致函数值在<math>x\approx0.513</math>和<math>x\approx0.799</math>之间交替。在r的某些值处，吸引子是一个单点（“不动点”），在r的其他值处，依次访问x的两个值（倍周期分岔）；在r的其他值处，依次访问任意数量的x值；最后，对于r的某些值，访问无穷多个点。因此，同一个动力学方程可以有不同类型的吸引子，这取决于它的起始参数。
动力学方程的参数随着方程的迭代而变化，具体值可能取决于初始参数。其中一个例子是得到深入研究的逻辑图，<math>x{n+1}=rx}n（1-xun）</math>，图中显示了参数r各种值的吸引域。如果<math>r=2.6</math>，则<math>x<0</math>的所有起始x值将迅速使函数值变为负无穷大；<math>x>0</math>的起始x值将变为正无穷大。但是对于<math>0<x<1</math>，x值会迅速收敛到<math>x\approx0.615</math>，也就是说，在这个r值下，x的单个值是函数行为的吸引子。对于r的其他值，x可以取多个值：如果r为3.2，<math>0<x<1</math>的起始值将导致函数值在<math>x\approx0.513</math>和<math>x\approx0.799</math>之间交替。在r的某些值处，吸引子是一个单点（“不动点”），在r的其他值处，依次访问x的两个值（倍周期分岔）；在r的其他值处，依次访问任意数量的x值；最后，对于r的某些值，访问无穷多个点。因此，同一个动力学方程可以有不同类型的吸引子，这取决于它的起始参数。
奇异吸引子的例子包括'''双涡卷吸引子 double-scroll attractor'''、'''埃农吸引子 Hénon attractor'''、'''若斯叻吸引子 Rössler attractor'''和'''洛伦兹吸引子 Lorenz attractor'''。
奇异吸引子的例子包括'''双涡卷吸引子 double-scroll attractor'''、'''埃农吸引子 Hénon attractor'''、'''若斯叻吸引子 Rössler attractor'''和'''洛伦兹吸引子 Lorenz attractor'''。
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==吸引子表征系统的演化==
==吸引子表征系统的演化==