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由于[[SIR模型]]中，任意时间间隔<math>\Delta t</math>内，个体恢复的概率为<math>\gamma\Delta\tau</math>，不能恢复的概率为<math>1-\gamma\Delta\tau</math>。因此，在总时间<math>\tau</math>后，个体仍然处于感染状态的概率为<math>

由于[[SIR模型]]中，任意时间间隔<math>\Delta t</math>内，个体恢复的概率为<math>\gamma\Delta t</math>，不能恢复的概率为<math>1-\gamma\Delta t</math>。因此，在总时间t后，个体仍然处于感染状态的概率为<math>

\begin{equation}

\begin{equation}

\lim_{\Delta\tau\to0}(1-\gamma\Delta\tau)^{\tau/\Delta\tau}=e^{-\gamma\tau},

\lim_{\Delta t\to0}(1-\gamma\Delta t)^{t/\Delta t}=e^{-\gamma t},

\end{equation}</math>

\end{equation}</math>

同时，个体保持感染状态，然后在<math>\tau</math>到<math>\tau+d\tau</math>区间恢复的概率<math>p(\tau)d\tau</math>可以表示为上述概率与<math>\gamma d\tau</math>的乘积，即

同时，个体保持感染状态，然后在t到<math>t+dt/math>区间恢复的概率<math>p(t)dt</math>可以表示为上述概率与<math>\gamma dt</math>的乘积，即

<math>\begin{equation}

<math>\begin{equation}

p(\tau)d\tau=\gamma e^{-\gamma\tau}d\tau,

p(t)dt=\gamma e^{-\gamma t}dt,

\end{equation}</math>

\end{equation}</math>

通过上式我们得到了感染个体在恢复以前处于感染态的时间长度<math>\tau</math>的分布。因为，基本再生数R₀指的就是，这个被传染的人，在他恢复之前，将疾病平均传染给了多少个人。所以，对于SIR模型的R₀值，如果一个人在时间<math>\tau</math>内仍然具有传染性，则在这段时间内，与之接触的人的期望值为<math>\beta\tau</math>。R₀的定义是针对[[本地人口]]给出的，而在[[本地人口]]中，他接触到的所有人都是易感者，他接触到的所有人，都有可能被传染。因此，<math>\beta\tau</math>也就是感染个体将传染的总人数。对<math>\beta\tau</math>中的<math>\tau</math>的分布取平均，就可以得到R₀的平均值：<math>

通过上式我们得到了感染个体在恢复以前处于感染态的时间长度t的分布。因为，基本再生数R₀指的就是，这个被传染的人，在他恢复之前，将疾病平均传染给了多少个人。所以，对于SIR模型的R₀值，如果一个人在时间t内仍然具有传染性，则在这段时间内，与之接触的人的期望值为<math>\beta t</math>。R₀的定义是针对[[本地人口]]给出的，而在[[本地人口]]中，他接触到的所有人都是易感者，他接触到的所有人，都有可能被传染。因此，<math>\beta t</math>也就是感染个体将传染的总人数。对<math>\beta t</math>中的t的分布取平均，就可以得到R₀的平均值：<math>

\begin{equation}

\begin{equation}

R_0=\beta\gamma\int^\infty_0 \tau e^{-\gamma\tau}d\tau=\frac{\beta}{\gamma}.

R_0=\beta\gamma\int^\infty_0 t e^{-\gamma t}dt=\frac{\beta}{\gamma}.

\end{equation}</math>

\end{equation}</math>