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短期突触可塑性 (查看源代码)

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第70行：第70行：

</math>|{{EquationRef|6}}}}

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$\widehat{\rho}$是$\rho$的傅立叶变换，而$I_0$和$x_0$分别是$I$和$x$的稳态值[参见Eq. ({{EquationNote|4}})，其中$u_0 = U$]。

+

<math>\widehat{\rho}</math>是<math>\rho</math>的傅立叶变换，而<math>I_0</math>和<math>x_0</math>分别是<math>I</math>和<math>x</math>的稳态值[参见Eq. ({{EquationNote|4}})，其中<math>u_0 = U</math>]。

过滤器的幅度<math>|\widehat{\chi}(w)|</math>如图2C所示，展示了抑制性突触的高通过滤特性。换句话说，前突触发射率的快速变化可以忠实地传输给突触后目标，而慢速变化则被抑制所衰减。

第120行：第120行：

== 附录A：短期抑制的时间滤波器的推导 ==

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我们考虑 Eq. ({{EquationNote|3}}) 中描述的基于率的动力学，针对以抑制为主的突触（<math>u^+ \approx U</math>）以及突触反应远快于抑制动力学的情况（$\tau_s \ll \tau_d$）：

+

我们考虑 Eq. ({{EquationNote|3}}) 中描述的基于率的动力学，针对以抑制为主的突触（<math>u^+ \approx U</math>）以及突触反应远快于抑制动力学的情况（<math>\tau_s \ll \tau_d</math>）：

{{NumBlk|::|<math>

第134行：第134行：

</math>|{{EquationRef|8}}}}

−

目标是推导一个滤波器 <math>$\chi$，将输出的突触电流 <math>$I$ 与输入率 <math>$R$ 相关联。

+

目标是推导一个滤波器 <math>\chi</math>，将输出的突触电流 <math>I</math> 与输入率 <math>R</math> 相关联。

−

注意，因为输入率 <math>$R$ 以乘法方式进入方程，输入-输出转换函数是非线性的。然而，通过考虑围绕常数率 <math>$R_0$ 的发射率 <math>$R(t)$ 的小扰动 <math>$R_1 \rho(t)$，可以推导出一个线性滤波器，即

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注意，因为输入率 <math>R</math> 以乘法方式进入方程，输入-输出转换函数是非线性的。然而，通过考虑围绕常数率 <math>R_0</math> 的发射率 <math>R(t)</math> 的小扰动 <math>R_1 \rho(t)</math>，可以推导出一个线性滤波器，即

{{NumBlk|::|<math>

R(t):=R_0 + R_1 \rho (t)\, \quad\text{with}\quad R_0,R_1>0 \quad\text{and}\quad R_1\ll R_0 \, .

第141行：第141行：

</math>|{{EquationRef|9}}}}

−

我们假设，<math>$R$ 中的这种小扰动会在变量 <math>$x$ 的稳态值 <math>$x_0>0$ 周围产生小扰动：

+

我们假设，<math>R</math> 中的这种小扰动会在变量 <math>x</math> 的稳态值 <math>x_0>0</math> 周围产生小扰动：

{{NumBlk|::|<math>

x(t) = x_0 + x_1(t)\quad\text{with}\quad x_0 = \frac{1}{1+UR_0\tau_{d}} \quad\text{and}\quad |x_1(t)| \ll x_0 \, .

第157行：第157行：

</math>|{{EquationRef|11}}}}

−

在 Eq. ({{EquationNote|11}}) 中，我们忽略了二阶项 <math>$x_1 R_1\rho$，因为我们假设 <math>$R_1\ll R_0$ 且 <math>$|x_1|\ll x_0$。将 Eq. ({{EquationNote|11}}) 代入 Eq. ({{EquationNote|7}})得到

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在 Eq. ({{EquationNote|11}}) 中，我们忽略了二阶项 <math>x_1 R_1\rho</math>，因为我们假设 <math>R_1\ll R_0</math> 且 <math>|x_1|\ll x_0</math>。将 Eq. ({{EquationNote|11}}) 代入 Eq. ({{EquationNote|7}})得到

{{NumBlk|::|<math>

第180行：第180行：

\end{eqnarray}

</math>|{{EquationRef|14}}}}

−

且 $j=\sqrt{-1}$ 是虚数单位。解 Eq. ({{EquationNote|13}}) 得到变量 $\widehat{x}$，我们发现

+

且 <math>j=\sqrt{-1}</math> 是虚数单位。解 Eq. ({{EquationNote|13}}) 得到变量 <math>\widehat{x}</math>，我们发现

{{NumBlk|::|<math>

\begin{eqnarray}

第187行：第187行：

</math>|{{EquationRef|15}}}}

−

其中从 Eq. ({{EquationNote|10}})我们用到了 <math>$U R_0 \tau_{d}=1/x_0 - 1$。

+

其中从 Eq. ({{EquationNote|10}})我们用到了 <math>U R_0 \tau_{d}=1/x_0 - 1</math>。

接下来，我们将 Eq. ({{EquationNote|11}}) 代入Eq. ({{EquationNote|8}}) 来线性化突触电流的动态

第197行：第197行：

\end{eqnarray}

</math>|{{EquationRef|16}}}}

−

围绕稳态值 $I_0 = \tau_{s}AU x_0 R_0$。

+

围绕稳态值 <math>I_0 = \tau_{s}AU x_0 R_0</math>。

通过对 Eq. ({{EquationNote|16}}) 的两边取傅里叶变换，使用 Eq. ({{EquationNote|15}})，我们得到

第215行：第215行：

</math>|{{EquationRef|18}}}}

−

为了解释这个结果，我们将傅里叶变换 <math>$\widehat{R}=R_0\delta(\omega)+R_1 \widehat{\rho}$ 代入 Eq. ({{EquationNote|17}})，得到

+

为了解释这个结果，我们将傅里叶变换 <math>\widehat{R}=R_0\delta(\omega)+R_1 \widehat{\rho}</math> 代入 Eq. ({{EquationNote|17}})，得到

{{NumBlk|::|<math>

第239行：第239行：

</math>|{{EquationRef|21}}}}

−

因此，输出电流 <math>$I$ 是稳态电流 <math>$I_0$ 和经过滤波的扰动 <math>$\frac{I_0 R_1}{R_0} \int {\rm d}\tau \, <math>\chi(\tau) \rho(t-\tau)$ 的和，其中 <math>$\chi$ 是我们感兴趣的滤波器。

+

因此，输出电流 <math>I</math> 是稳态电流 <math>I_0</math> 和经过滤波的扰动 <math>\frac{I_0 R_1}{R_0} \int {\rm d}\tau \, <math>\chi(\tau) \rho(t-\tau)</math> 的和，其中 <math>\chi</math> 是我们感兴趣的滤波器。

== 参考文献 ==

Dongyu

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