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==实例 ==
==实例 ==
===状态空间上的因果涌现===
===离散马尔科夫链比较===
下图给出一个含有四个状态的马尔可夫链的状态转移矩阵，其中前三个状态之间等概率转移，最后一个状态是独立的，通过将前三个状态粗粒化成一个状态，可以得到右图确定的宏观系统，即系统的未来状态完全可以由当前状态决定。此时<math>EI(S_M\ )>EI(S_m\ ) </math>，系统发生了因果涌现。
下图给出一个含有四个状态的马尔可夫链的状态转移矩阵，其中前三个状态之间等概率转移，最后一个状态是独立的，通过将前三个状态粗粒化成一个状态，可以得到右图确定的宏观系统，即系统的未来状态完全可以由当前状态决定。此时<math>EI(S_M\ )>EI(S_m\ ) </math>，系统发生了因果涌现。
[[文件:马尔科夫状态转移矩阵.png|居中|474x474像素|状态空间上的因果涌现|替代=|缩略图]]
[[文件:马尔科夫状态转移矩阵.png|居中|474x474像素|状态空间上的因果涌现|替代=|缩略图]]
===鸟群以及脑系统比较===
离散布尔网络上的因果涌现
下图展示1个含有4个节点的布尔网络例子，每个节点有0和1两种状态，每个节点与其中两个节点相连，遵循相同的微观动力学机制（a图），因此，一共含有十六个微观状态，可以得到一个<math>16\times16 </math>的状态转移矩阵（c图），然后给定分组方式，如将A和B进行合并，C和D进行合并（b图），同时给定微观状态到宏观状态的映射函数（d图），就可以得到新的宏观动力学机制，根据这个机制就可以得到宏观网络的状态转移矩阵（e图），通过对比发现宏观动力学的有效信息大于微观动力学的有效信息（<math>EI(S_M\ )>EI(S_m\ ) </math>），系统发生了因果涌现。
下图展示1个含有4个节点的布尔网络例子，每个节点有0和1两种状态，每个节点与其中两个节点相连，遵循相同的微观动力学机制（a图），因此，一共含有十六个微观状态，可以得到一个<math>16\times16 </math>的状态转移矩阵（c图），然后给定分组方式，如将A和B进行合并，C和D进行合并（b图），同时给定微观状态到宏观状态的映射函数（d图），就可以得到新的宏观动力学机制，根据这个机制就可以得到宏观网络的状态转移矩阵（e图），通过对比发现宏观动力学的有效信息大于微观动力学的有效信息（<math>EI(S_M\ )>EI(S_m\ ) </math>），系统发生了因果涌现。
[[文件:含有4个节点的布尔网络.png|居中|677x677像素|离散布尔网络上的因果涌现|替代=含有4个节点布尔网络的因果涌现|缩略图]]
[[文件:含有4个节点的布尔网络.png|居中|677x677像素|离散布尔网络上的因果涌现|替代=含有4个节点布尔网络的因果涌现|缩略图]]
时域空间上的因果涌现
除了对空间进行粗粒化，还可以对时间进行粗粒化如下图所示，考虑两阶马尔可夫动力学，输入为两个时刻<math>t-2 </math>和<math>t-1 </math>的状态，输出为<math>t </math>和<math>t+1 </math>的状态，可以通过<math>EI </math>计算二阶微观动力学的有效信息为<math>1.38bits </math>，然后通过对时间状态分组，令<math>\alpha=\left \{ A_t,A_{t+1} \right \} </math>，<math>\beta=\left \{ B_t,B_{t+1} \right \} </math>， 同时采用与离散布尔网络相同的映射函数，可以得到完全确定且非简并的宏观动力学系统，其有效信息为<math>2bits </math>，同样实现“宏观打败微观”的效果。
除了对空间进行粗粒化，还可以对时间进行粗粒化如下图所示，考虑两阶马尔可夫动力学，输入为两个时刻<math>t-2 </math>和<math>t-1 </math>的状态，输出为<math>t </math>和<math>t+1 </math>的状态，可以通过<math>EI </math>计算二阶微观动力学的有效信息为<math>1.38bits </math>，然后通过对时间状态分组，令<math>\alpha=\left \{ A_t,A_{t+1} \right \} </math>，<math>\beta=\left \{ B_t,B_{t+1} \right \} </math>， 同时采用与离散布尔网络相同的映射函数，可以得到完全确定且非简并的宏观动力学系统，其有效信息为<math>2bits </math>，同样实现“宏观打败微观”的效果。
[[文件:时间粗粒化.png|居中|382x382像素|时域空间上的因果涌现|替代=时间粗粒化|缩略图]]
[[文件:时间粗粒化.png|居中|382x382像素|时域空间上的因果涌现|替代=时间粗粒化|缩略图]]
连续空间上的因果涌现
上述的三个例子都是针对离散的状态系统的因果涌现衡量，Varley尝试将连续系统转换成离散的状态转移图进行比较<ref>Varley T F, Hoel E. Emergence as the conversion of information: A unifying theory[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A, 2022, 380(2227): 20210150.</ref>。作者使用OPN(有序划分网络)方法来离散化Rossler吸引子来创建有限数量的状态以及定义一个状态到另一个状态的转移概率。Rossler吸引子的动力学如下所示：
上述的三个例子都是针对离散的状态系统的因果涌现衡量，Varley尝试将连续系统转换成离散的状态转移图进行比较<ref>Varley T F, Hoel E. Emergence as the conversion of information: A unifying theory[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A, 2022, 380(2227): 20210150.</ref>。作者使用OPN(有序划分网络)方法来离散化Rossler吸引子来创建有限数量的状态以及定义一个状态到另一个状态的转移概率。Rossler吸引子的动力学如下所示：