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===因果态的主要性质===

===因果态的主要性质===

将所有历史序列的集合记作<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>，将<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>按照某种函数映射方法划分为若干个互斥且全面的子集，那么每个子集就是一个有效态（effective state），这些有效态的集合记作<math>\mathcal{R} </math>，进一步理解其实有效态就是将<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>中的某段序列粗粒化后得到的宏观态。按照不同的划分方法会得到不同类型的<math>\mathcal{R} </math>，它们的集合记作<math>\hat{\mathcal{R}} </math>。按照最优的划分方法得到的有效态就是因果态，这些因果态的集合记作<math>\mathcal{S} </math>，<math>\mathcal{S} </math>是<math>\mathcal{R} </math>的一种特殊形式，它们均属于<math>\hat{\mathcal{R}} </math>。

将所有历史序列的集合记作<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>，将<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>按照某种函数映射方法划分为若干个互斥且全面的子集，那么每个子集就是一个有效态（effective state），这些有效态的集合记作<math>\mathcal{R} </math>，进一步理解其实有效态就是将<math> \overset{\leftarrow}{S}</math>中的某段序列粗粒化后得到的宏观态。按照最优的划分方法得到的有效态就是因果态，这些因果态的集合记作<math>\mathcal{S} </math>，<math>\mathcal{S} </math>是<math>\mathcal{R} </math>的一种特殊形式。

（1）在相同统计复杂度的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在所有类型有效态集合<math>\hat{\mathcal{R}} </math>中的预测能力最强，用公式表示为<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的条件熵。

（1）在相同统计复杂度的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的预测能力最强，用公式表示为<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的条件熵。

（2）在相同预测能力的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在所有类型有效态集合<math>\hat{\mathcal{R}} </math>中的统计复杂度最小，用公式表示为<math>C_\mu(\mathcal{R})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>

（2）在相同预测能力的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的统计复杂度最小，用公式表示为<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>，<math>\hat{\mathcal{R} </math>满足<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\hat{\mathcal{R}}]=H[\stackrel{\rightarrow}{S}^{L}|\mathcal{S}] </math>。

上文中已经介绍了柯式复杂度和统计复杂度的基本概念，接下来回顾一下它们之间的关系。如果<math>s^L </math>表示对过程的测量结果的前<math>L </math>个字符串，那么复杂性之间的关系可以近似的表示为：

上文中已经介绍了柯式复杂度和统计复杂度的基本概念，如果<math>s^L </math>表示对过程的测量结果的前<math>L </math>个序列，那么它们之间的关系可以近似的表示为：

<math>K(s^L )≈C_μ (s^L )+h_μ L </math>

<math>K(s^L )≈C_μ (s^L )+h_μ L </math>

如果在已确定描述语言（程序）的情况下，柯式复杂度<math>K(s^L ) </math>可以理解为描述字符串<math>s^L </math>所用的总信息量。

如果在已确定描述语言（程序）的情况下，柯式复杂度<math>K(s^L ) </math>可以理解为描述<math>s^L </math>所用的总信息量。

<math>h_μ </math>为香农熵率，是信息不确定性程度的归一化指标，信息的不确定性越高，香农熵率越大。<math>h_μ </math>在这里可以理解为误差率， 则<math>h_μ L </math>为允许损失的随机信息量。

<math>h_μ </math>为香农熵率，是信息不确定性程度的归一化指标，信息的不确定性越高，香农熵率越大。<math>h_μ </math>在这里可以理解为误差率， 则<math>h_μ L </math>为允许损失的随机信息量。

统计复杂度<math>C_μ (s^L ) </math>可以理解为允许存在误差率<math>h_μ </math>的情况下，描述字符串<math>s^L </math>所用的最少信息量。

统计复杂度<math>C_μ (s^L ) </math>可以理解为允许存在误差率<math>h_μ </math>的情况下，描述<math>s^L </math>所用的最少信息量。

那么公式可以解释为：字符串<math>s^L </math>的总信息量≈被归纳的状态信息量+放弃归纳的随机信息量

 

那么公式可以解释为：字符串<math>s^L </math>的总信息量≈被归纳的因果态信息量+放弃归纳的随机信息量

（3）因果态在所有有效态中具有最小随机性

（3）因果态在所有有效态中具有最小随机性