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=== 宏观EI的变分下界 ===

=== 宏观EI的变分下界 ===

'''定理'''1（宏观EI的变分下界）：''对于给定的 q 值，由式{{EquationNote|3}}定义的无约束目标函数优化等价于优化式{{EquationNote|1}}中定义的约束目标函数的下界。''

'''定理'''1（宏观EI的变分下界）：''对于给定的 q 值，由式{{EquationNote|3}}定义的无约束目标函数优化等价于优化式{{EquationNote|1}}中定义的无约束目标函数的下界。''

优化目标（式{{EquationNote|1}}）便转化为：{{NumBlk|：|2=<nowiki>[math]\displaystyle{ \begin{aligned}&\min_{f,g,\phi,\phi\dagger}\sum_{t=1}^{T-1}w(\boldsymbol{x}_t)\parallel\boldsymbol{y}_t-g(\boldsymbol{y}_{t+1})\parallel+\lambda\parallel\hat{x}_{t+1}-\boldsymbol{x}_{t+1}\parallel,\\&s.t.\begin{cases}y_{t}=\phi(x_{t}),\\\hat{y}_{t+1}=f(y_t),\\\hat{x}_{t+1}=\phi^{\dagger}\left(f_{q}(\phi(x_{t})\bigr)\right),\\y_{t+1}=\phi(x_{t+1}).\end{cases}\end{aligned} }[/math]</nowiki>|3={{EquationRef|3}}}}

优化目标（式{{EquationNote|1}}）可转化为：{{NumBlk|：|2=<nowiki>[math]\displaystyle{ \begin{aligned}&\min_{f,g,\phi,\phi\dagger}\sum_{t=1}^{T-1}w(x_t)\parallel y_t-g(y_{t+1})\parallel+\lambda\parallel\hat{x}_{t+1}-x_{t+1}\parallel,\\&s.t.\begin{cases}y_{t}=\phi(x_{t}),\\\hat{y}_{t+1}=f(y_t),\\\hat{x}_{t+1}=\phi^{\dagger}\left(\hat{y}_{t+1}\right),\\y_{t+1}=\phi(x_{t+1}).\end{cases}\end{aligned} }[/math]</nowiki>|3={{EquationRef|3}}}}

式中，<math>x_{t}</math>、<math>x_{t+1}</math>表示可观测的微观数据，<math>y_{t}</math>、<math>y_{t+1}</math>表示经过粗粒化函数<math>\phi</math>得到的宏观数据，<math>

式中，<math>x_{t}</math>、<math>x_{t+1}</math>表示可观测的微观数据，<math>y_{t}</math>、<math>y_{t+1}</math>表示经过粗粒化函数<math>\phi</math>得到的宏观数据，这里[math]\phi=\psi_{\omega}\circ \chi[/math]，其中[math]\psi_{\omega}[/math]为一个可逆函数，参数为[math]\omega[/math]；[math]\chi[/math]为投影操作。<math>

\hat{y}_{t+1}

\hat{y}_{t+1}

</math>表示<math>

</math>表示<math>

</math>表示<math>\hat{y}_{t+1}</math>经过反粗粒化函数<math>

</math>表示<math>\hat{y}_{t+1}</math>经过反粗粒化函数<math>

\phi^{\dagger}

\phi^{\dagger}

</math>得到的预测的<math>

</math>（这里反粗粒化函数[math]\phi^{\dagger}=\psi^{-1}_{\omega}(y,\xi)[/math]，[math]\xi[/math]为一个正态分布随机数）得到的预测的<math>

t+1

t+1

</math>时刻微观变量值，<math> g: R_q → R_q  </math>表示反宏观动力学函数，可以根据<math>

</math>时刻微观变量值，<math> g: R_q → R_q  </math>表示反宏观动力学函数，可以根据<math>