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→因果涌现度量
CE = EI(P') - EI(P)
CE = EI(P') - EI(P)
</math>
</math>
这里[math]P[/math]为微观状态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为：[math]N\times N[/math]，这里N为微观的状态数；而[math]P'[/math]为对[math]P[/math]做粗粒化操作之后得到的宏观态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为[math]M\times M[/math]，其中[math]M<N[/math]为宏观状态数。
关于如何对马尔科夫概率转移矩阵实施粗粒化的方法，往往体现为两步：1、对微观状态做归并，将N个微观态，归并为M个宏观态；2、对马尔科夫转移矩阵做约简。关于具体的粗粒化马尔科夫链的方法，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。
如果计算得出的CE>0，则称该系统发生了[[因果涌现]]，否则没有发生。
下面，我们展示一个具体的因果涌现的例子：
{| style="text-align: center;"
|+马尔科夫链示例
|-
|
<math>
P_m=\begin{pmatrix}
&1/3 &1/3 &1/3 &0& \\
&1/3 &1/3 &1/3 &0& \\
&1/3 &1/3 &1/3 &0& \\
&0 &1 &0 &1& \\
\end{pmatrix}
</math>,
||
<math>
P_M=\begin{pmatrix}
&1 &0 & \\
&0 &1 & \\
\end{pmatrix}
</math>.
|-
|[math]\begin{aligned}&Det(P_m)=0.81\ bits,\\&Deg(P_m)=0\ bits,\\&EI(P_m)=0.81\ bits\end{aligned}[/math]||[math]\begin{aligned}&Det(P_M)=1\ bits,\\&Deg(P_M)=0\ bits,\\&EI(P_M)=1\ bits\end{aligned}[/math]
|}
在这个例子中，微观态的转移矩阵是一个4*4的矩阵，其中前三个状态彼此以1/3的概率相互转移，这导致该转移矩阵具有较小的确定性，因此EI也不是很大为0.81。然而，当我们对该矩阵进行粗粒化，也就是把前三个状态合并为一个状态a，而最后一个状态转变为一个宏观态b。这样所有的原本三个微观态彼此之间的转移就变成了宏观态a到a内部的转移了。因此，转移概率矩阵也就变成了[math]P_M[/math]，它的EI为1。在这个例子中，可以计算它的[[因果涌现度量]]为：
<math>
CE=EI(P_M)-EI(P_m)=1-0.81=0.19\ bits
</math>
即存在着0.19比特的因果涌现。
有时，我们也会根据归一化的EI来计算[[因果涌现度量]]，即：
<math>
ce=Eff(P_M)-Eff(P_m)=1-0.405=0.595
</math>
由此可见，由于归一化的EI消除了系统尺寸的影响，因此因果涌现度量更大。
<!--[[文件:Example1.png|815x815px|无框|居中]]
上图展示了几种马尔科夫链的转移概率矩阵，其中（a）是确定性高，简并性低，所以整体eff比较高。（b）则是确定性和简并性都比较高，所以eff是0。（c）相比于（a）确定性更低，（d）也是确定性和简并性都较高导致eff较低，它们都可以通过同一种粗粒化策略（将前4个状态合并为一个状态）来得到（e）。此时（e）确定性很高，无简并性，所以（e）的eff比（c）（d）要高。
-->
=== 粗粒化映射 ===
=== 粗粒化映射 ===