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===基于信息分解的因果涌现理论===

===基于信息分解的因果涌现理论===

此外，2020年，Rosas等<ref name=":5" />从[[信息论|信息理论]]视角出发，提出一种基于[[信息分解]]的方法来定义系统中的因果涌现，基于[[协同信息]]或者[[冗余信息]]来定量的刻画涌现。所谓的[[信息分解]]是分析[[复杂系统]]中各个变量复杂相互关系的一种新方法，通过对信息进行分解，用信息原子来表示每个部分信息，同时借助[[信息晶格图]]将每个部分信息投射到[[信息原子]]中，其中协同信息以及冗余信息都可以用对应的信息原子来表示。该方法建立在Williams和Beer等<ref>Williams P L, Beer R D. Nonnegative decomposition of multivariate information[J]. arXiv preprint arXiv:10042515, 2010.</ref>提出的[[多元信息非负分解]]理论的基础之上，文中使用[[部分信息分解]]（PID）将微观态和宏观态的互信息进行分解。然而，PID框架只能分解关于多个源变量和一个目标变量之间的互信息，Rosas扩展了该框架，提出整合信息分解方法<math>\Phi ID </math><ref>P. A. Mediano, F. Rosas, R. L. Carhart-Harris, A. K. Seth, A. B. Barrett, Beyond integrated information: A taxonomy of information dynamics phenomena, arXiv preprint arXiv:1909.02297 (2019).</ref>来处理多个源变量和多个目标变量之间的互信息，作者基于分解后的信息提出了两种因果涌现的定义方法。

此外，2020年，Rosas等<ref name=":5" />从[[信息论|信息理论]]视角出发，提出一种基于[[信息分解]]的方法来定义系统中的因果涌现，基于[[协同信息]]或者[[冗余信息]]来定量的刻画涌现。所谓的[[信息分解]]是分析[[复杂系统]]中各个变量复杂相互关系的一种新方法，通过对信息进行分解，用信息原子来表示每个部分信息，同时借助[[信息晶格图]]将每个部分信息投射到[[信息原子]]中，其中协同信息以及冗余信息都可以用对应的信息原子来表示。该方法建立在Williams和Beer等<ref name=":16">Williams P L, Beer R D. Nonnegative decomposition of multivariate information[J]. arXiv preprint arXiv:10042515, 2010.</ref>提出的[[多元信息非负分解]]理论的基础之上，文中使用[[部分信息分解]]（PID）将微观态和宏观态的互信息进行分解。然而，PID框架只能分解关于多个源变量和一个目标变量之间的互信息，Rosas扩展了该框架，提出整合信息分解方法<math>\Phi ID </math><ref>P. A. Mediano, F. Rosas, R. L. Carhart-Harris, A. K. Seth, A. B. Barrett, Beyond integrated information: A taxonomy of information dynamics phenomena, arXiv preprint arXiv:1909.02297 (2019).</ref>来处理多个源变量和多个目标变量之间的互信息，作者基于分解后的信息提出了两种因果涌现的定义方法。

===近期工作===

===近期工作===

=====部分信息分解=====

=====部分信息分解=====

该方法建立在Williams和Beer等<ref>Williams P L, Beer R D. Nonnegative decomposition of multivariate information[J]. arXiv preprint arXiv:10042515, 2010.</ref>提出的[[多元信息非负分解]]理论的基础之上，该文使用[[部分信息分解]]（PID）将微观态和宏观态的互信息进行分解。

该方法建立在Williams和Beer等<ref name=":16" />提出的[[多元信息非负分解]]理论的基础之上，该文使用[[部分信息分解]]（PID）将微观态和宏观态的互信息进行分解。

不失一般性，假设我们的微观态为<math>X(X^1,X^2) </math>，即它是一个二维的变量，宏观态为<math>V </math>，则二者之间的[[互信息]]可以被分解为四个部分：

不失一般性，假设我们的微观态为<math>X(X^1,X^2) </math>，即它是一个二维的变量，宏观态为<math>V </math>，则二者之间的[[互信息]]可以被分解为四个部分：

因果涌现的一个重要的指标就是粗粒化策略的选取，而如果在微观模型已知的时候，对微观态的粗粒化就等价于对微观模型进行'''模型约简'''(Model Reduction)。模型约简是控制论中的一个重要子领域，Antoulas就曾经写过相关的综述文章<ref name=":15">Antoulas A C. An overview of approximation methods for large-scale dynamical systems[J]. Annual reviews in Control, 2005, 29(2): 181-190.</ref>。

因果涌现的一个重要的指标就是粗粒化策略的选取，而如果在微观模型已知的时候，对微观态的粗粒化就等价于对微观模型进行'''模型约简'''(Model Reduction)。模型约简是控制论中的一个重要子领域，Antoulas就曾经写过相关的综述文章<ref name=":15">Antoulas A C. An overview of approximation methods for large-scale dynamical systems[J]. Annual reviews in Control, 2005, 29(2): 181-190.</ref>。

模型约简，就是要将高维的复杂系统动力学模型进行化简、降维，用低维的动力学来描述原系统的演化规律，这一过程其实就是因果涌现研究中的粗粒化过程。对大尺度动力系统的近似方法主要有两大类，即基于奇异值分解<ref name=":15" /><ref>Gallivan K, Grimme E, Van Dooren P. Asymptotic waveform evaluation via a Lanczos method[J]. Applied Mathematics Letters, 1994, 7(5): 75-80.</ref>的近似方法和基于Krylov<ref name=":15" /><ref>CHRISTIAN DE VILLEMAGNE & ROBERT E. SKELTON (1987) Model reductions using a projection formulation, International Journal of Control, 46:6, 2141-2169, DOI: 10.1080/00207178708934040 </ref><ref>Boley D L. Krylov space methods on state-space control models[J]. Circuits, Systems and Signal Processing, 1994, 13: 733-758.</ref>的近似方法。前者基于奇异值分解，后者基于矩匹配。虽然前者具有许多理想的性质，包括误差界，但它不能应用于高复杂度的系统。另一方面，后者的优势在于它可以迭代实现，因此适用于高维度的复杂度系统。将这两种方法的优势相结合，就产生了第三类近似方法，即称为SVD/Krylov的方法<ref>Gugercin S. An iterative SVD-Krylov based method for model reduction of large-scale dynamical systems[J]. Linear Algebra and its Applications, 2008, 428(8-9): 1964-1986.</ref><ref>Khatibi M, Zargarzadeh H, Barzegaran M. Power system dynamic model reduction by means of an iterative SVD-Krylov model reduction method[C]//2016 IEEE Power & Energy Society Innovative Smart Grid Technologies Conference (ISGT). IEEE, 2016: 1-6.</ref>。两种方法都是基于粗粒化前后输出函数的误差损失函数来对模型约简效果做评价的，因此，模型约简的目标就是寻找能使误差最小的约简参数矩阵。

模型约简，就是要将高维的复杂系统动力学模型进行化简、降维，用低维的动力学来描述原系统的演化规律，这一过程其实就是因果涌现研究中的粗粒化过程。对大尺度动力系统的近似方法主要有两大类，即基于奇异值分解<ref name=":15" /><ref>Gallivan K, Grimme E, Van Dooren P. Asymptotic waveform evaluation via a Lanczos method[J]. Applied Mathematics Letters, 1994, 7(5): 75-80.</ref>的近似方法和基于Krylov<ref name=":15" /><ref name=":17">CHRISTIAN DE VILLEMAGNE & ROBERT E. SKELTON (1987) Model reductions using a projection formulation, International Journal of Control, 46:6, 2141-2169, DOI: 10.1080/00207178708934040 </ref><ref>Boley D L. Krylov space methods on state-space control models[J]. Circuits, Systems and Signal Processing, 1994, 13: 733-758.</ref>的近似方法。前者基于奇异值分解，后者基于矩匹配。虽然前者具有许多理想的性质，包括误差界，但它不能应用于高复杂度的系统。另一方面，后者的优势在于它可以迭代实现，因此适用于高维度的复杂度系统。将这两种方法的优势相结合，就产生了第三类近似方法，即称为SVD/Krylov的方法<ref>Gugercin S. An iterative SVD-Krylov based method for model reduction of large-scale dynamical systems[J]. Linear Algebra and its Applications, 2008, 428(8-9): 1964-1986.</ref><ref>Khatibi M, Zargarzadeh H, Barzegaran M. Power system dynamic model reduction by means of an iterative SVD-Krylov model reduction method[C]//2016 IEEE Power & Energy Society Innovative Smart Grid Technologies Conference (ISGT). IEEE, 2016: 1-6.</ref>。两种方法都是基于粗粒化前后输出函数的误差损失函数来对模型约简效果做评价的，因此，模型约简的目标就是寻找能使误差最小的约简参数矩阵。

一般情况下基于模型约简前后输出函数的误差损失函数可以用来判断粗粒化参数，这一过程默认了系统约简的过程会损失信息量，因此误差最小化是判断约简方法有效性的唯一方法。但是如果从因果涌现角度考虑，[[有效信息]]会因为降维而增大，这也是因果涌现研究中的粗粒化策略和控制论中的模型约简最大的不同。当动力系统是随机系统的时候<ref>CHRISTIAN DE VILLEMAGNE & ROBERT E. SKELTON (1987) Model reductions using a projection formulation, International Journal of Control, 46:6, 2141-2169, DOI: 10.1080/00207178708934040 </ref>，直接计算损失函数会因为随机性的存在，导致其稳定性无法保证，因而约简的有效性也会无法准确测量。而本身就是基于随机动力系统的有效信息和因果涌现指标，一定程度上可以增加评判指标的有效性，使对随机动力系统的控制研究更加严谨。

一般情况下基于模型约简前后输出函数的误差损失函数可以用来判断粗粒化参数，这一过程默认了系统约简的过程会损失信息量，因此误差最小化是判断约简方法有效性的唯一方法。但是如果从因果涌现角度考虑，[[有效信息]]会因为降维而增大，这也是因果涌现研究中的粗粒化策略和控制论中的模型约简最大的不同。当动力系统是随机系统的时候<ref name=":17" />，直接计算损失函数会因为随机性的存在，导致其稳定性无法保证，因而约简的有效性也会无法准确测量。而本身就是基于随机动力系统的有效信息和因果涌现指标，一定程度上可以增加评判指标的有效性，使对随机动力系统的控制研究更加严谨。

===动力学模态分解===

===动力学模态分解===