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极限环 (查看源代码)

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第9行：第9行：

== 定义 ==

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在研究二维相空间的动力系统时，极限环（limit ~~cycle）通常定义为孤立的周期轨道或闭合轨道。~~

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在研究二维相空间的动力系统时，极限环（limit cycle）通常定义为孤立的周期轨道（periodic trajectory）或闭合轨道（closed orbit）。

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~~该轨道是某一其他轨道的极限集，即至少存在另一条轨道，其在~~ <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> ~~时以螺旋方式趋近于该轨道。~~<ref name="Perko" /><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>

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该轨道可以看作某些其他轨道的极限集，即至少存在一条不同于它本身的轨道，在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时以螺旋方式趋近于该闭合轨道。<ref name="Perko" /><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>

为使用更形式化的语言描述这一概念，现考虑一个二维动力系统

第17行：第17行：

其中 <math>V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref>

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~~该系统的一条轨道（trajectory）是满足上述微分方程的光滑函数~~ <math>x~~(t)~~</math>~~，其取值于~~ <math>~~\mathbb{R}^2~~</math>~~；而该函数在相空间中的像称为其轨道（orbit），即~~ <math>\mathbb{R}^2</math> 的一个子集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref>

+

该系统的一条轨线（trajectory）是满足上述微分方程的一个光滑解 <math>x: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math>。该轨线在相空间中的像 <math>x(t)</math>称为其轨道，是 <math>\mathbb{R}^2</math>的一个子集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref>

−

~~如果一条轨道不是常数解，并且存在~~ <math>T>0</math> 使得

+

若一条轨线不是常数解，并且存在 <math>T>0</math> ，使得

−

<math>x(t+T)=x(t)</math> 对所有 <math>t \in \mathbb{R}</math> ~~成立，则称该轨道为周期轨道（periodic trajectory），其在相空间中的像称为闭轨道（closed orbit）或循环（cycle）。~~<ref name="Strogatz" />

+

<math>x(t+T)=x(t)</math> 对所有 <math>t \in \mathbb{R}</math> 成立，则称其为周期解，在相空间中的像称为周期轨道或闭合轨道。<ref name="Strogatz" />

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~~在二维系统中，极限环可以看作是一类孤立的周期轨道，即其附近不存在其他周期轨道。~~

+

在二维系统中，极限环是指一类孤立的周期轨道，即在其某个邻域内不存在其他周期轨道。

[[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|'''稳定极限环'''和另外两个螺旋进入它的轨迹 ]]

夏沛雯

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