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== 定义 ==

== 定义 ==

在研究二维相空间的动力系统时，极限环（limit cycle）通常定义为孤立的周期轨道或闭合轨道。

在研究二维相空间的动力系统时，极限环（limit cycle）通常定义为孤立的周期轨道（periodic trajectory）或闭合轨道（closed orbit）。

该轨道是某一其他轨道的极限集，即至少存在另一条轨道，其在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时以螺旋方式趋近于该轨道。<ref name="Perko" /><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>

该轨道可以看作某些其他轨道的极限集，即至少存在一条不同于它本身的轨道，在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时以螺旋方式趋近于该闭合轨道。<ref name="Perko" /><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>

为使用更形式化的语言描述这一概念，现考虑一个二维动力系统

为使用更形式化的语言描述这一概念，现考虑一个二维动力系统

其中 <math>V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref>

其中 <math>V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref>

该系统的一条轨道（trajectory）是满足上述微分方程的光滑函数 <math>x(t)</math>，其取值于 <math>\mathbb{R}^2</math>；而该函数在相空间中的像称为其轨道（orbit），即 <math>\mathbb{R}^2</math> 的一个子集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref>

该系统的一条轨线（trajectory）是满足上述微分方程的一个光滑解 <math>x:  \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math>。该轨线在相空间中的像 <math>x(t)</math>称为其轨道，是 <math>\mathbb{R}^2</math>的一个子集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref>

如果一条轨道不是常数解，并且存在 <math>T>0</math> 使得

若一条轨线不是常数解，并且存在 <math>T>0</math> ，使得

<math>x(t+T)=x(t)</math> 对所有 <math>t \in \mathbb{R}</math> 成立，则称该轨道为周期轨道（periodic trajectory），其在相空间中的像称为闭轨道（closed orbit）或循环（cycle）。<ref name="Strogatz" />

<math>x(t+T)=x(t)</math> 对所有 <math>t \in \mathbb{R}</math> 成立，则称其为周期解，在相空间中的像称为周期轨道或闭合轨道。<ref name="Strogatz" />

[[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|'''稳定极限环'''和另外两个螺旋进入它的轨迹 ]]

[[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|'''稳定极限环'''和另外两个螺旋进入它的轨迹 ]]