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但要揭示其非线性局部拓扑结构，需利用极坐标变换  

但要揭示其非线性局部拓扑结构，需利用极坐标变换  

[[文件:线性中心扰动.png|缩略图|右|图2：非线性中心扰动|480px]]

[[文件:线性中心扰动.png|缩略图|右|图1：非线性中心扰动|480px]]

:<math>\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{array} \right.</math>

:<math>\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{array} \right.</math>

此外，以下两类典型的非双曲边界情形也极易发生定性改变：

此外，以下两类典型的非双曲边界情形也极易发生定性改变：

[[文件:非线性系统线性化失效典型情形.png|缩略图|图3：非线性系统线性化失效典型情形]]

[[文件:非线性系统线性化失效典型情形.png|缩略图|图2：非线性系统线性化失效典型情形]]

==== 退化结点 ====

==== 退化结点 ====

该定理揭示了保守系统结构与非线性中心之间的因果联系。在一般非线性系统中，线性化分析所得的中心极易因非线性项的扰动而失去闭合性，演化为螺旋收敛或发散的焦点。然而，保守系统固有的能量守恒性质排除了此种演变：若轨迹以螺旋方式趋近或远离不动点，则其守恒量将随时间单调变化，这与守恒量沿轨迹恒定的定义相矛盾。由此推知，只要不动点对应于守恒量的局部极值，其邻近轨迹便被约束于闭合的等高线上，从而保证了非线性中心的存在。

该定理揭示了保守系统结构与非线性中心之间的因果联系。在一般非线性系统中，线性化分析所得的中心极易因非线性项的扰动而失去闭合性，演化为螺旋收敛或发散的焦点。然而，保守系统固有的能量守恒性质排除了此种演变：若轨迹以螺旋方式趋近或远离不动点，则其守恒量将随时间单调变化，这与守恒量沿轨迹恒定的定义相矛盾。由此推知，只要不动点对应于守恒量的局部极值，其邻近轨迹便被约束于闭合的等高线上，从而保证了非线性中心的存在。

[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图4：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|360px]]

[[文件:保守系统的非线性中心示例图.png|缩略图|图3：双阱系统能量等高线图及其相平面投影|right|360px]]

==== 示例：双阱势系统 ====

==== 示例：双阱势系统 ====

无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值<math>sin𝜃 ≈ 𝜃</math>被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：

无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值<math>sin𝜃 ≈ 𝜃</math>被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：

[[文件:钟摆.png|缩略图|右|图5：无阻尼钟摆|right|280px]]

[[文件:钟摆.png|缩略图|右|图4：无阻尼钟摆|right|280px]]

:<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.</math>

:<math>\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.</math>