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洛伦兹方程 (查看源代码)

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=== 方程的简化及形式 ===

====模态分析====

−

洛伦兹发现七阶系统中三个模态 X₁,X₂,X₄ 为基模及第一谐波，是对流主模态，慢模态，具有长期动力学行为。其余四个模态 X₃,X₅,X₆,X₇ 为快速衰减模态，对应高次竖直模/水平高次模。

+

洛伦兹发现七阶系统中三个模态[math]X_1,X_2,X_4[/math] 为基模及第一谐波，是对流主模态，慢模态，具有长期动力学行为。其余四个模态 [math]X_3,X_5,X_6,X_7[/math]为快速衰减模态，对应高次竖直模/水平高次模。

====方程简化====

−

设快模态 <math>\dot{x}_i=0</math>（[[中心流形定理]]~~，快变量流形上为常数），解如下代数方程：~~

+

设快模态 <math>\dot{x}_i=0</math>（[[中心流形定理]]，快变量流形上为常数），将上述7阶模型方程中的[[快模态]]([math]X_3,X_5,X_6,X_7[/math])表示为[[慢模态]]([math]X_1,X_4,X_2[/math])的函数，代入方程。

−

~~<math>~~

−

~~\begin{cases}~~

−

~~0 = -a_{33}X_3 + b_{33}X_6 + c_{31}X_1X_5 \implies X_3 = K_3(X_1,X_4,X_2) \\~~

−

~~0 = -b_{55}X_5 + e_{52}X_2 + f_{51}X_1X_4 \implies X_5 = K_5(X_1,X_4,X_2) \\~~

−

~~0 = -b_{66}X_6 + e_{63}X_3 + f_{61}X_1X_5 \implies X_6 = K_6(X_1,X_4,X_2) \\~~

−

~~0 = -a_{77}X_7 + g_{71}X_1X_5 \implies X_7 = K_7(X_1,X_4,X_2)~~

−

~~\end{cases}~~

−

~~</math>~~

−

~~====最终方程====~~

−

~~进一步，将上述方程中的~~[[快模态]]([math]X_3,X_5,X_6,X_7[/math])表示为[[慢模态]]([math]X_1,X_4,X_2[/math])~~的函数，代入[[慢模态]]方程。~~

令：[math]X=X_1，Y=X_4，Z=X_2[/math]，代入并合并常数，于是就可以得到洛伦兹方程，即标准三维自治常微分方程组：

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