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→空间收缩
</math>
</math>
相空间体积随时间指数收缩，这排除了发散解和周期解的可能，不存在[[准周期解]]、不存在[[排斥不动点]]、不存在排斥[[闭轨]]，所有轨道最终被吸引到低维[[混沌吸引子]]上。
相空间体积随时间指数收缩，这排除了发散解和周期解的可能，不存在[[准周期解]]、不存在[[排斥不动点]]、不存在排斥[[闭轨]]，所有轨道最终被吸引到低维[[混沌吸引子]]上。
根据[[散度定理]]，对光滑相流向量场 $\boldsymbol{f}$ 与有界区域 $\Omega$（边界闭曲面 $S=\partial\Omega$），有：
<math>
\oiint_S \boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}A = \iiint_\Omega \nabla\cdot\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}V = \dot{V}(t)
</math>
标准洛伦兹系统
<math>
\begin{cases}
\dot{x} = \sigma(y-x) \\
\dot{y} = x(\beta-z)-y \\
\dot{z} = xy - \rho z
\end{cases}
</math>
其相空间向量场散度计算为：
<math>
\nabla\cdot\boldsymbol{f} = \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} + \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} + \frac{\partial \dot{z}}{\partial z}
= -\sigma - 1 - \rho
</math>
代入体积变化公式得相空间体积变化率：
<math>
\dot{V}(t) = \iiint_\Omega \nabla\cdot\boldsymbol{f}\,\mathrm{d}V
= \iiint_\Omega \left(-\sigma - 1 - \rho\right)\mathrm{d}V
</math>
对该常系数微分方程积分，解得任意时刻相空间体积：
<math>
V(t) = V(0)\,e^{-(\sigma+1+\rho)t}
</math>
相空间体积随时间**指数收缩**，该性质直接排除全局发散解、纯周期解的存在可能性：系统不存在排斥型不动点、排斥闭轨与准周期轨道，所有相轨道最终被挤压、吸引至低维[[混沌吸引子]]。
=== 方程的数学性质 ===
=== 方程的数学性质 ===