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第267行：
第267行： − + − :<math> \dim_{\operatorname{Haus}}(X) =\sup_{i\in I} \dim_{\operatorname{Haus}}(X_i).</math>+ − (x) sup { i }{ operatorname { Haus }(xi) . / math+ 第283行：
第283行： − 这可以直接从定义中验证。+ 第291行：
第291行： − + 第299行：
第299行： − (x 乘以 y) ge dim { operatorname { Haus }(x) + dim { operatorname { Haus }(y) . / math+ 第307行：
第307行： − 这种不平等可以是绝对的。有可能找到两个维数为0的集合，其乘积的维数为1。在相反的方向上，我们知道当 x 和 y 是 r sup n / sup 的 Borel 子集时，x y 的豪斯多夫维数从上面以 x 的豪斯多夫维数加上 y 的填充维数为界。Mattila (1995)曾就这些情况进行了讨论。+
→Behaviour under unions and products
If <math>X=\bigcup_{i\in I}X_i</math> is a finite or countable union, then
If <math>X=\bigcup_{i\in I}X_i</math> is a finite or countable union, then
如果 math x x i / math 是一个有限或可数的联合，则
如果 <math>X=\bigcup_{i\in I}X_i</math> 是一个有限或可数的联合，则
<math> \dim_{\operatorname{Haus}}(X) =\sup_{i\in I} \dim_{\operatorname{Haus}}(X_i).</math>
<math> \dim_{\operatorname{Haus}}(X) =\sup_{i\in I} \dim_{\operatorname{Haus}}(X_i).</math>
<math> \dim_{\operatorname{Haus}}(X) =\sup_{i\in I} \dim_{\operatorname{Haus}}(X_i).</math>
This can be verified directly from the definition.
This can be verified directly from the definition.
这可以直接从定义得到验证。
If X and Y are non-empty metric spaces, then the Hausdorff dimension of their product satisfies
If X and Y are non-empty metric spaces, then the Hausdorff dimension of their product satisfies
如果 x 和 y 是非空度量空间，那么它们乘积的豪斯多夫维数满足
如果 ''X'' 和''Y''是非空度量空间，那么它们乘积的豪斯多夫维数满足
<math> \dim_{\operatorname{Haus}}(X\times Y)\ge \dim_{\operatorname{Haus}}(X)+ \dim_{\operatorname{Haus}}(Y).</math>
<math> \dim_{\operatorname{Haus}}(X\times Y)\ge \dim_{\operatorname{Haus}}(X)+ \dim_{\operatorname{Haus}}(Y).</math>
This inequality can be strict. It is possible to find two sets of dimension 0 whose product has dimension 1. In the opposite direction, it is known that when X and Y are Borel subsets of R<sup>n</sup>, the Hausdorff dimension of X × Y is bounded from above by the Hausdorff dimension of X plus the upper packing dimension of Y. These facts are discussed in Mattila (1995).
This inequality can be strict. It is possible to find two sets of dimension 0 whose product has dimension 1. In the opposite direction, it is known that when X and Y are Borel subsets of R<sup>n</sup>, the Hausdorff dimension of X × Y is bounded from above by the Hausdorff dimension of X plus the upper packing dimension of Y. These facts are discussed in Mattila (1995).
这种不平等可以是绝对的。有可能找到两个维数为0的集合，其乘积的维数为1。相反，我们知道当''X''和''Y''是 '''R'''<sup>''n''</sup>的 Borel 子集时， ''X'' × ''Y''的豪斯多夫维数从上面以 ''X''的豪斯多夫维数加上 ''Y''的填充维数为界。Mattila (1995)曾就这些情况进行了讨论。
==Self-similar sets==
==Self-similar sets==