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{{short description|Cellular automaton}}
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[[File:Sandpile identity 300x205.png|upright=1.25|thumb|The identity element of the sandpile group of a rectangular grid. Yellow pixels correspond to vertices carrying three particles, lilac to two particles, green to one, and black to zero.]]
[[File:Sandpile identity 300x205.png|upright=1.25|thumb|The identity element of the sandpile group of a rectangular grid. Yellow pixels correspond to vertices carrying three particles, lilac to two particles, green to one, and black to zero.]]
#向这个顶点添加一粒沙子，同时让其他顶点的沙粒数保持不变，也就是设定<math> <br />z_i(x_i,y_i)=z_{i-1}(x_i,y_i)+1 </math>，对于所有的<math> (x,y)\neq(x_i,y_i) </math>，<math> <br />z_i(x,y)=z_{i-1}(x,y) </math>。
#向这个顶点添加一粒沙子，同时让其他顶点的沙粒数保持不变，也就是设定<math> <br />z_i(x_i,y_i)=z_{i-1}(x_i,y_i)+1 </math>，对于所有的<math> (x,y)\neq(x_i,y_i) </math>，<math> <br />z_i(x,y)=z_{i-1}(x,y) </math>。
#如果所有的顶点都是稳定的，即如果<math> (x,y)\in\Gamma </math>中<math> z_i(x,y)<4 </math>，那么<math> z_i </math>被认为是稳定的。在这种情况下，继续下一轮迭代。
#如果所有的顶点都是稳定的，即如果<math> (x,y)\in\Gamma </math>中<math> z_i(x,y)<4 </math>，那么<math> z_i </math>被认为是稳定的。在这种情况下，继续下一轮迭代。
#如果至少有一个顶点是不稳定的，即对于一些<math> (x_u,y_u)\in\Gamma</math>，<math>z_i(x_u,y_u)\geq 4</math>，<math>z_i</math>被认为是不稳定的。在这种情况下，随机选择任意不稳定顶点<math> (x_u,y_u)\in\Gamma</math>。将该顶点的沙粒数减少4个，清空这个顶点，并将其每个(最多4个)直接邻居的沙粒数增加1个。即：<math><br />z_i(x_u,y_u) \rightarrow z_i(x_u,y_u) – 4</math>，<math><br />z_i( x_u \pm 1, y_u \pm 1) \rightarrow z_i( x_u \pm 1, y_u\pm 1) + 1 if ( x_u \pm 1, y_u\pm 1)\in\Gamma.<br /></math>。如果一个在边界的顶点产生崩塌，这将导致沙粒的净损失（两粒在网格的角落，一粒在其他地方）。
#如果至少有一个顶点是不稳定的，即对于一些<math> (x_u,y_u)\in\Gamma</math>，<math>z_i(x_u,y_u)\geq 4</math>，<math>z_i</math>被认为是不稳定的。在这种情况下，随机选择任意不稳定顶点<math> (x_u,y_u)\in\Gamma</math>。将该顶点的沙粒数减少4个，清空这个顶点，并将其每个(最多4个)直接邻居的沙粒数增加1个。即：<br /><math>z_i(x_u,y_u) \rightarrow z_i(x_u,y_u) - 4,</math>，<br /><math>z_i( x_u \pm 1, y_u \pm 1) \rightarrow z_i( x_u \pm 1, y_u\pm 1) + 1</math> if <math>( x_u \pm 1, y_u\pm 1)\in\Gamma</math>.<br />。如果一个在边界的顶点产生崩塌，这将导致沙粒的净损失（两粒在网格的角落，一粒在其他地方）。
#由于沙粒的重新分布，一个顶点的崩塌会使其他顶点不稳定。这样，重复崩塌的过程，直到<math>z_i</math>状态下的所有顶点最终稳定下来，继续下一轮迭代。
#由于沙粒的重新分布，一个顶点的崩塌会使其他顶点不稳定。这样，重复崩塌的过程，直到<math>z_i</math>状态下的所有顶点最终稳定下来，继续下一轮迭代。