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在<math>*</math>运算下，递归构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群。对于 <math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括沉没顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和循环）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于循环构型群。The minimal [[Semigroup#Subsemigroups and ideals|ideal]] of this monoid is then isomorphic to the group of recurrent configurations.

在<math>*</math>运算下，递归构型的集合构成一个与约化图拉普拉斯矩阵<math>\Delta'</math>的核同构的阿贝尔群。对于 <math>\mathbf{Z}^{n-1}/\mathbf{Z}^{n-1}\Delta'</math>，其中<math>n</math> 表示顶点数（包括沉没顶点）。更一般地说，稳定构型集（瞬态和循环）在<math>*</math>.运算下形成'''<font color="#ff8000"> 交换幺半群Commutative monoid</font>'''。这个幺半群的最小理想同构于循环构型群。<font color="#ff8000">The minimal [[Semigroup#Subsemigroups and ideals|ideal]] of this monoid is then isomorphic to the group of recurrent configurations.</font>

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）ideal翻译存疑==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）ideal翻译存疑==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）

给定上述同构，沙堆群的顺序是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理，它是图的生成树数目。

给定上述同构，沙堆群的顺序是<math>\Delta'</math>的行列式，根据矩阵树定理，它是图的生成树数目。

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）the order of the sandpile group is the determinant of <math>\Delta'</math>的翻译存疑，order是否翻译成顺序

==[[用户:Zcy|Zcy]]（[[用户讨论:Zcy|讨论]]）the order of the sandpile group is the determinant of <math>\Delta'</math>的翻译存疑，order是否翻译成顺序

==[[自组织临界性]]==

==[[自组织临界性]]==