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对于''k''≤''np''，可以得出累积分布函数左尾的上界<math>F(k;n,p)=Pr(X \le k)</math>，即最多存在''k''次成功的概率。由于<math>Pr(X \ge k) = F(n-k;n,1-p) </math>，这些界限也可以看作是''k''≥''np''的累积分布函数右尾的边界。

对于''k''≤''np''，可以得出累积分布函数左尾的上界<math>F(k;n,p)=Pr(X \le k)</math>，即最多存在''k''次成功的概率。由于<math>Pr(X \ge k) = F(n-k;n,1-p) </math>，这些界限也可以看作是''k''≥''np''的累积分布函数右尾的边界。

<math>F(k;n,\tfrac{1}{2}) \geq \frac{1}{15} \exp\left(- 16n \left(\frac{1}{2} -\frac{k}{n}\right)^2\right). \!</math>

<math>F(k;n,\tfrac{1}{2}) \geq \frac{1}{15} \exp\left(- 16n \left(\frac{1}{2} -\frac{k}{n}\right)^2\right). \!</math>

当''p''&nbsp;=&nbsp;1/2并且''n''为偶数，''k'' ≥ 3''n''/8时, 可以使分母为常数

当''p''&nbsp;=&nbsp;1/2并且''n''为偶数，''k'' ≥ 3''n''/8时, 可以使分母为常数

:<math> F(k;n,\tfrac{1}{2}) \geq \frac{1}{15} \exp\left(- 16n \left(\frac{1}{2} -\frac{k}{n}\right)^2\right). \!</math>

<math> F(k;n,\tfrac{1}{2}) \geq \frac{1}{15} \exp\left(- 16n \left(\frac{1}{2} -\frac{k}{n}\right)^2\right). \!</math>

 

<math>\widehat{p\,} \pm z \sqrt{ \frac{ \widehat{p\,} ( 1 -\widehat{p\,} )}{ n } }</math>

<math>\widehat{p\,} \pm z \sqrt{ \frac{ \widehat{p\,} ( 1 -\widehat{p\,} )}{ n } }</math>