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<math>A X + X B = C.</math>

<math>A X + X B = C.</math>

其中''A''，''B''，''C''为已知的矩阵，问题是要找到能够满足方程的矩阵X。所有矩阵的系数都是复数。为了使方程有意义，矩阵的行和列需要满足一定条件，''A'' 和 ''B'' 都要是方阵，大小分别是''n''和''m''，而''X''和''C''要是''n''行''m''列的矩阵，''n''和''m''也可以相等，四个矩阵都是大小相同的方阵。

其中''A''，''B''，''C''为已知的矩阵，问题是要找到能够满足方程的矩阵X。所有矩阵的系数都是复数。为了使方程有意义，矩阵的行和列需要满足一定条件，''A'' 和 ''B'' 都要是方阵，大小分别是''n''和''m''，而''X''和''C''要是''n x'' ''m''列的矩阵，''n''和''m''也可以相等，四个矩阵都是大小相同的方阵。

当且仅当 ''A'' 和-''b'' 没有共同的本征值时，西尔韦斯特有唯一解 ''X'' 。更一般地，方程 <math>A X + X B = C.</math> 也可以视为(可能无限维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。在这种情况下，此情形下，有唯一解 ''X'' 的充分必要条件几乎相同:  ''A'' 和-''B'' 的谱不相交<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。

当且仅当 ''A'' 和-''b'' 没有共同的本征值时，西尔韦斯特有唯一解 ''X'' 。更一般地，方程 <math>A X + X B = C.</math> 也可以视为(可能无限维中)巴拿赫空间中有界算子的方程。在这种情况下，此情形下，有唯一解 ''X'' 的充分必要条件几乎相同:  ''A'' 和-''B'' 的谱不相交<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。

利用克罗内克积符号和向量化算子操作符<math>\operatorname{vec}</math>，我们可以以下形式重写韦斯特方程:  

利用克罗内克积符号和向量化算子操作符<math>\operatorname{vec}</math>，我们可以以下形式重写韦斯特方程:  

:<math> (I_m \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>

:<math> (I_m \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>

其中 ''A'' 是 n × m的矩阵，''B'' 是m × m的矩阵，X 是n × m的矩阵，<math>I_k</math> 是 <math>k \times k</math>的单位矩阵。在这种形式下，该方程可以看作是一个大小为<math>mn \times mn</math>的线性系统<ref>然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。</ref>。然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。

其中 ''A'' 是 ''n'' ''×'' ''m''的矩阵，''B'' 是''m'' ''×'' ''m''的矩阵，''X'' 是''n'' ''×'' ''m''的矩阵，<math>I_k</math> 是 <math>k \times k</math>的单位矩阵。在这种形式下，该方程可以看作是一个大小为<math>mn \times mn</math>的线性系统<ref>然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。</ref>。然而，不建议为了数值解重写这种形式的方程，因为这个版本计算代价较高，并且存在病态。

'''定理'''。给定矩阵 <math>A\in \mathbb{C}^{n\times n}</math>和<math>B\in \mathbb{C}^{m\times m}</math>，韦斯特方程 <math>AX+XB=C</math>对任意  <math>C\in\mathbb{C}^{n\times m}</math>有唯一解 ''X'' 当且仅当 ''A'' 和''-B'' 不共享任何特征值。

'''定理'''。给定矩阵 <math>A\in \mathbb{C}^{n\times n}</math>和<math>B\in \mathbb{C}^{m\times m}</math>，韦斯特方程 <math>AX+XB=C</math>对任意  <math>C\in\mathbb{C}^{n\times m}</math>有唯一解 ''X'' 当且仅当 ''A'' 和''-B'' 不共享任何特征值。

=Roth消去法则=  

=Roth消去法则=  

给定两个大小分别为''n'' 和 ''m'' 的复方阵 ''A'' 和 ''B''，以及大小为 n × m 的矩阵 ''C''，我们可以确认下列两个大小为 ''n + m'' 的方阵[math]\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}[/math]和[math]\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}[/math]是否相似。当存在矩阵 ''X'' 使得 ''AX-XB'' ''='' ''C'' ，这两个矩阵就是相似的。换句话说，''X'' 是维斯特方程的解。这就是众所周知的'''Roth消去法则'''<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888|jstor=3619888}}</ref>。

给定两个大小分别为''n'' 和 ''m'' 的复方阵 ''A'' 和 ''B''，以及大小为 ''n × m'' 的矩阵 ''C''，我们可以确认下列两个大小为 ''n + m'' 的方阵[math]\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}[/math]和[math]\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}[/math]是否相似。当存在矩阵 ''X'' 使得 ''AX-XB'' ''='' ''C'' ，这两个矩阵就是相似的。换句话说，''X'' 是维斯特方程的解。这就是众所周知的'''Roth消去法则'''<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888|jstor=3619888}}</ref>。

一种简便的检查方式如下：如果''AX-XB = C''，那么：

一种简便的检查方式如下：如果''AX-XB = C''，那么：