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* '''Universality 普适性'''是指差异巨大的微观系统在相变时可以表现出相同的行为。因此，许多不同系统中的相变可以用相同的基本标度不变理论来描述。
* '''Universality 普适性'''是指差异巨大的微观系统在相变时可以表现出相同的行为。因此，许多不同系统中的相变可以用相同的基本标度不变理论来描述。
* 一般来说，无量纲量是标度不变量。统计学中的类似概念是'''Standardized Moments 标准化矩'''，它是变量的标度不变统计量，而非标准化矩不是。
* 一般来说，无量纲量是标度不变量。统计学中的类似概念是'''Standardized Moments 标准化矩'''，它是变量的标度不变统计量，而非标准化矩不是。
==标度不变曲线与自相似性==
==标度不变曲线与自相似性==
在任意重新标度{{mvar|λ}}下，标度不变也允许曲线进行旋转；换句话说，{{math|''θ''(''λr'')}}与其旋转后的{{math|''θ''(''r'')}}一模一样。
在任意重新标度{{mvar|λ}}下，标度不变也允许曲线进行旋转；换句话说，{{math|''θ''(''λr'')}}与其旋转后的{{math|''θ''(''r'')}}一模一样。
=== 射影几何===
=== 射影几何===
单项式标度不变性的概念在高维时推广到'''Homogeneous Polynomial 齐次多项式'''，更一般地推广到'''Homogeneous Function 齐次函数'''。齐次函数是射影空间的“土著”，齐次多项式在射影几何中作为'''Projective Varieties 射影簇'''进行研究。射影几何是数学中一个内容特别丰富的领域；在其最抽象的形式——'''Schemes 概型'''的几何学中，它与'''String Theory 弦理论'''中的各种主题都有联系。
单项式标度不变性的概念在高维时推广到'''Homogeneous Polynomial 齐次多项式'''，更一般地推广到'''Homogeneous Function 齐次函数'''。齐次函数是射影空间的“土著”，齐次多项式在射影几何中作为'''Projective Varieties 射影簇'''进行研究。射影几何是数学中一个内容特别丰富的领域；在其最抽象的形式——'''Schemes 概型'''的几何学中，它与'''String Theory 弦理论'''中的各种主题都有联系。
===分形===
===分形===
周期性外部和内部射线是不变的曲线。
周期性外部和内部射线是不变的曲线。
==随机过程中的标度不变性==
==随机过程中的标度不变性==
标度不变分布的例子还有'''Pareto distribution 帕累托分布'''和'''Zipfian distribution 齐夫分布'''。
标度不变分布的例子还有'''Pareto distribution 帕累托分布'''和'''Zipfian distribution 齐夫分布'''。
===标度不变的Tweedie分布===
===标度不变的Tweedie分布===
正如中心极限定理要求某些类型的随机变量以高斯分布为收敛焦点并表示白噪声一样，Tweedie收敛定理要求某些非高斯随机变量来表达1/f噪声和涨落标度<ref name="Kendal2011" />。
正如中心极限定理要求某些类型的随机变量以高斯分布为收敛焦点并表示白噪声一样，Tweedie收敛定理要求某些非高斯随机变量来表达1/f噪声和涨落标度<ref name="Kendal2011" />。
=== 宇宙学===
=== 宇宙学===
在'''Physical Cosmology 宇宙物理学'''，'''Cosmic Microwave Background 宇宙微波背景'''的空间分布功率频谱近似于标度不变函数。尽管在数学上这意味着该频谱服从幂律，但在宇宙学中“标度不变”一词表明，'''Primordial Fluctuations 原始涨落'''的振幅{{math|''P''(''k'')}}，作为波数{{mvar|k}}的函数，是近似常数，也就是一个平谱。这种模式与'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀论'''的主张是一致的。
在'''Physical Cosmology 宇宙物理学'''，'''Cosmic Microwave Background 宇宙微波背景'''的空间分布功率频谱近似于标度不变函数。尽管在数学上这意味着该频谱服从幂律，但在宇宙学中“标度不变”一词表明，'''Primordial Fluctuations 原始涨落'''的振幅{{math|''P''(''k'')}}，作为波数{{mvar|k}}的函数，是近似常数，也就是一个平谱。这种模式与'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀论'''的主张是一致的。
==经典场论中的标度不变性==
==经典场论中的标度不变性==
:<math>\lambda^{\Delta}\varphi(\lambda x)</math>.
:<math>\lambda^{\Delta}\varphi(\lambda x)</math>.
===场结构中的标度不变性===
===场结构中的标度不变性===
我们注意到这个条件限制性很强。一般来说，即使是标度不变场方程的解也不是标度不变的，在这种情况下，对称性出现'''Spontaneously Broken 自发破缺'''。
我们注意到这个条件限制性很强。一般来说，即使是标度不变场方程的解也不是标度不变的，在这种情况下，对称性出现'''Spontaneously Broken 自发破缺'''。
===经典电磁学 ===
===经典电磁学 ===
此外，已知'''E'''('''x''', ''t'')和'''B'''('''x''', ''t'')是麦克斯韦方程组的解，则可以认为'''E'''(λ'''x''', λ''t'')和'''B'''(λ'''x''', λ''t'')也是解。
此外，已知'''E'''('''x''', ''t'')和'''B'''('''x''', ''t'')是麦克斯韦方程组的解，则可以认为'''E'''(λ'''x''', λ''t'')和'''B'''(λ'''x''', λ''t'')也是解。
===无质量标量场理论===
===无质量标量场理论===
因此质量标量场理论不具有标度不变性也就不足为奇了。
因此质量标量场理论不具有标度不变性也就不足为奇了。
====φ<sup>4</sup> 理论====
====φ<sup>4</sup> 理论====
关键是参数{{mvar|g}}必须是无量纲的，否则就会引入一个固定的长度标度到理论中：对于{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论，只有在{{mvar|D}}=4时才会出现这种情况。注意，在这些变换下，函数{{mvar|φ}}的参数是不变的。
关键是参数{{mvar|g}}必须是无量纲的，否则就会引入一个固定的长度标度到理论中：对于{{mvar|φ}}<sup>4</sup>理论，只有在{{mvar|D}}=4时才会出现这种情况。注意，在这些变换下，函数{{mvar|φ}}的参数是不变的。
==Scale invariance in quantum field theory 量子场论中的标度不变性==
==量子场论中的标度不变性==
The scale-dependence of a [[quantum field theory]] (QFT) is characterised by the way its [[coupling constant|coupling parameters]] depend on the energy-scale of a given physical process. This energy dependence is described by the [[renormalization group]], and is encoded in the [[beta-function]]s of the theory.
The scale-dependence of a [[quantum field theory]] (QFT) is characterised by the way its [[coupling constant|coupling parameters]] depend on the energy-scale of a given physical process. This energy dependence is described by the [[renormalization group]], and is encoded in the [[beta-function]]s of the theory.
对于具有标度不变性的量子场论（QFT），其耦合参数必须与能量标度无关，这由理论中β函数的消失来表示。这类理论也被称为相应重整化群流的固定点<ref name=":0">J. Zinn-Justin (2010) Scholarpedia article "Critical Phenomena: field theoretical approach".</ref>。
对于具有标度不变性的量子场论（QFT），其耦合参数必须与能量标度无关，这由理论中β函数的消失来表示。这类理论也被称为相应重整化群流的固定点<ref name=":0">J. Zinn-Justin (2010) Scholarpedia article "Critical Phenomena: field theoretical approach".</ref>。
===量子电动力学===
===量子电动力学===
然而在自然界中，电磁场是与带电粒子耦合的，比如电子。描述光子和带电粒子相互作用的量子场论是量子电动力学（QED），而这个理论并不是标度不变的。我们可以从量子电动力学的β函数中得到这一认识。这就告诉我们电荷(在理论上是耦合参数)随着能量的增加而增加。因此，尽管没有带电粒子的量子化电磁场是标度不变的，量子电动力学却不是标度不变的。
然而在自然界中，电磁场是与带电粒子耦合的，比如电子。描述光子和带电粒子相互作用的量子场论是量子电动力学（QED），而这个理论并不是标度不变的。我们可以从量子电动力学的β函数中得到这一认识。这就告诉我们电荷(在理论上是耦合参数)随着能量的增加而增加。因此，尽管没有带电粒子的量子化电磁场是标度不变的，量子电动力学却不是标度不变的。
===无质量标量场理论===
===无质量标量场理论===
虽然量子化无质量''φ''<sup>4</sup>不是标度不变的，但除了高斯定点外，确实存在标度不变的量子化标量场理论。例如：'''Wilson-Fisher Fixed Point 威尔逊-费雪定点'''。
虽然量子化无质量''φ''<sup>4</sup>不是标度不变的，但除了高斯定点外，确实存在标度不变的量子化标量场理论。例如：'''Wilson-Fisher Fixed Point 威尔逊-费雪定点'''。
===共形场论===
===共形场论===
在完全共形对称条件下，标度不变的量子场论几乎总是不变的，对此类量子场论的研究就是共形场论（CFT）。共形场论中的算子具有定义明确的标度维数，类似于前面所讨论的经典场标度维数 ''∆''。然而，共形场论中算子的标度维数与经典理论中场的标度维数不同。在共形场论中出现的附加贡献称做'''Anomalous Scaling Dimensions 异常标度维数'''。
在完全共形对称条件下，标度不变的量子场论几乎总是不变的，对此类量子场论的研究就是共形场论（CFT）。共形场论中的算子具有定义明确的标度维数，类似于前面所讨论的经典场标度维数 ''∆''。然而，共形场论中算子的标度维数与经典理论中场的标度维数不同。在共形场论中出现的附加贡献称做'''Anomalous Scaling Dimensions 异常标度维数'''。
=== 标度与共形异常===
=== 标度与共形异常===
上面的φ<sup>4</sup>理论例子表明，量子场论的耦合参数可以是标度依赖的，即使相应的经典场论是标度不变(或共形不变)。如果是这种情况，则称经典标度(或共形)不变性为异常。经典的标度不变场论，当量子效应打破其中的标度不变性，可以为接近指数级膨胀的早期宇宙提供了一种解释，即为'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀'''，只要该理论可以通过'''Perturbation Theory 微扰理论'''研究<ref name=":1">{{cite journal|last=Salvio, Strumia|title=Agravity|journal=JHEP |volume=2014 |issue=6|pages=080|date=2014-03-17|url=http://inspirehep.net/record/1286134|arxiv = 1403.4226|bibcode = 2014JHEP...06..080S|doi=10.1007/JHEP06(2014)080}}</ref>。
上面的φ<sup>4</sup>理论例子表明，量子场论的耦合参数可以是标度依赖的，即使相应的经典场论是标度不变(或共形不变)。如果是这种情况，则称经典标度(或共形)不变性为异常。经典的标度不变场论，当量子效应打破其中的标度不变性，可以为接近指数级膨胀的早期宇宙提供了一种解释，即为'''Cosmic Inflation 宇宙膨胀'''，只要该理论可以通过'''Perturbation Theory 微扰理论'''研究<ref name=":1">{{cite journal|last=Salvio, Strumia|title=Agravity|journal=JHEP |volume=2014 |issue=6|pages=080|date=2014-03-17|url=http://inspirehep.net/record/1286134|arxiv = 1403.4226|bibcode = 2014JHEP...06..080S|doi=10.1007/JHEP06(2014)080}}</ref>。
==相变==
==相变==
在统计力学中，当某个系统经历相变时，其波动可以用标度不变的统计场论来描述。对于在{{mvar|D}}空间维度中处于平衡状态(即时间无关)的系统，相应的统计场论形式上类似于{{mvar|D}}维共形场论。这类问题中的标度维数通常称为'''Critical Exponents 临界指数'''，原则上可以在适当的共形场论中计算这些指数。
在统计力学中，当某个系统经历相变时，其波动可以用标度不变的统计场论来描述。对于在{{mvar|D}}空间维度中处于平衡状态(即时间无关)的系统，相应的统计场论形式上类似于{{mvar|D}}维共形场论。这类问题中的标度维数通常称为'''Critical Exponents 临界指数'''，原则上可以在适当的共形场论中计算这些指数。
===伊辛模型===
===伊辛模型===
对于某个特定的<math>\eta</math>值，这是一个临界指数的例子。
对于某个特定的<math>\eta</math>值，这是一个临界指数的例子。
====共形场论描述====
====共形场论描述====
<math>\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}</math>
<math>\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}</math>
===施拉姆—洛纳演化===
===施拉姆—洛纳演化===
某些二维共形场论的异常维数可能与随机游动的典型分形维数有关，其中随机游动是通过施拉姆-洛纳演化(SLE)定义的。正如我们上面所看到的，共形场论描述了相变的物理过程，因此我们可以把某些相变的临界指数与这些分形维数联系起来。例如，二维临界伊辛模型和更一般的二维临界波茨模型。将其他二维共形场论与施拉姆-洛纳演化联系起来是一个活跃的研究领域。
某些二维共形场论的异常维数可能与随机游动的典型分形维数有关，其中随机游动是通过施拉姆-洛纳演化(SLE)定义的。正如我们上面所看到的，共形场论描述了相变的物理过程，因此我们可以把某些相变的临界指数与这些分形维数联系起来。例如，二维临界伊辛模型和更一般的二维临界波茨模型。将其他二维共形场论与施拉姆-洛纳演化联系起来是一个活跃的研究领域。
==普适性==
==普适性==
最关键的是，对于所有这些不同的系统来说，它们的行为都类似于相变，并且可以用统计力学的方式和标度不变的统计场论来描述。
最关键的是，对于所有这些不同的系统来说，它们的行为都类似于相变，并且可以用统计力学的方式和标度不变的统计场论来描述。
== 标度不变性的其他实例==
== 标度不变性的其他实例==
:<math>\mathbf{u}\rightarrow\mathbf{u}.</math>.
:<math>\mathbf{u}\rightarrow\mathbf{u}.</math>.
:已知解<math>\mathbf{u}(\mathbf{x},t)</math>和<math>\rho(\mathbf{x},t)</math>，我们自然可以得到<math>\lambda\mathbf{u}(\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t)</math>和<math>\lambda\rho(\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t)</math>也是解。
:已知解<math>\mathbf{u}(\mathbf{x},t)</math>和<math>\rho(\mathbf{x},t)</math>，我们自然可以得到<math>\lambda\mathbf{u}(\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t)</math>和<math>\lambda\rho(\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t)</math>也是解。
=== 计算机视觉===
=== 计算机视觉===
在计算机视觉和生物视觉中，由于图像的透视映射和世界上物体的物理尺寸不同而产生了标度变换。在这些领域中，标度不变性是指当图像域的局部尺度发生变化时，图像数据的图像描述或视觉表达效果保持不变<ref name=Lin13PONE>[https://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0066990 Lindeberg, T. (2013) Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8(7):e66990.]</ref> 。在归一化导数响应的尺度上检测局部极大值为从图像数据中获取标度不变性提供了一个通用框架<ref name="Lindeberg1998">Lindeberg, Tony (1998). "Feature detection with automatic scale selection". ''International Journal of Computer Vision''. '''30''' (2): 79–116. doi:10.1023/A:1008045108935. S2CID 723210.</ref><ref name=Lin14CompVis>T. Lindeberg (2014) [http://www.csc.kth.se/~tony/abstracts/Lin14-ScSel-CompVisRefGuide.html "Scale selection", Computer Vision: A Reference Guide, (K. Ikeuchi, Editor), Springer, pages 701-713.]</ref>。应用的例子包括'''Blob Detection 斑点检测'''、'''Corner Detection 角点检测、Ridge Detection 脊线检测'''和通过'''Scale-Invariant Feature Transform 标度不变特征变换'''进行的目标识别。
在计算机视觉和生物视觉中，由于图像的透视映射和世界上物体的物理尺寸不同而产生了标度变换。在这些领域中，标度不变性是指当图像域的局部尺度发生变化时，图像数据的图像描述或视觉表达效果保持不变<ref name=Lin13PONE>[https://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0066990 Lindeberg, T. (2013) Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8(7):e66990.]</ref> 。在归一化导数响应的尺度上检测局部极大值为从图像数据中获取标度不变性提供了一个通用框架<ref name="Lindeberg1998">Lindeberg, Tony (1998). "Feature detection with automatic scale selection". ''International Journal of Computer Vision''. '''30''' (2): 79–116. doi:10.1023/A:1008045108935. S2CID 723210.</ref><ref name=Lin14CompVis>T. Lindeberg (2014) [http://www.csc.kth.se/~tony/abstracts/Lin14-ScSel-CompVisRefGuide.html "Scale selection", Computer Vision: A Reference Guide, (K. Ikeuchi, Editor), Springer, pages 701-713.]</ref>。应用的例子包括'''Blob Detection 斑点检测'''、'''Corner Detection 角点检测、Ridge Detection 脊线检测'''和通过'''Scale-Invariant Feature Transform 标度不变特征变换'''进行的目标识别。
==参见==
==参见==