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在'''有限维系统 finite-dimensional systems'''中，演化变量可用代数表示为 n 维向量。吸引子是n维空间中的一个区域。在物理系统中，n维可以是一个或多个物理实体的两个或三个位置坐标；在经济系统中，它们可以是单独的变量，如'''通货膨胀率 inflation rate'''和'''失业率 unemployment rate'''。

在'''有限维系统 finite-dimensional systems'''中，演化变量可用代数表示为 n 维向量。吸引子是n维空间中的一个区域。在物理系统中，n维可以是一个或多个物理实体的两个或三个位置坐标；在经济系统中，它们可以是单独的变量，如'''通货膨胀率 inflation rate'''和'''失业率 unemployment rate'''。

如果演化变量是二维或三维的，则动态过程的吸引子可以用几何方式表示为二维或三维（例如右图所示的三维情况）。一个吸引子可以是一个点，一个有限的点集，一条曲线，一个流形，甚至是一个具有分形结构的复杂集合——我们称之为'''奇异吸引子 strange attractor'''（见下面的奇异吸引子）。如果变量是标量，那么吸引子就是实数线的子集。描述'''混沌动力学系统 chaotic dynamical systems'''的吸引子是混沌理论的重要成果之一。

如果演化变量是二维或三维的，则动态过程的吸引子可以用几何方式表示为二维或三维（例如右图所示的三维情况）。一个吸引子可以是一个点，一个有限的点集，一条曲线，一个流形，甚至是一个具有分形结构的复杂集合——我们称之为'''奇异吸引子 strange attractor'''（见下面的奇异吸引子）。如果变量是标量，那么吸引子就是实轴的子集。描述'''混沌动力学系统 chaotic dynamical systems'''的吸引子是混沌理论的重要成果之一。

动力系统在吸引子中的轨迹除了需要保持时间向前，不必满足任何特殊的约束条件。轨迹可能是周期性的，也可能是混沌的。如果一组点是周期性的或混沌的，但其附近的流远离该集合，则该集合不是吸引子，而是'''排斥点（或斥点） repeller(or repellor)'''

动力系统在吸引子中的轨迹，若时间向前，不必满足任何特殊的约束条件。轨迹可能是周期性的，也可能是混沌的。如果一组点是周期性的或混沌的，但其附近的流远离该集合，则该集合不是吸引子，而是'''排斥点（或斥点） repeller(or repellor)'''

==吸引子的动力机制==

==吸引子的提出动机==

我们通常用一个或多个微分方程或差分方程描述动力系统。一个给定动力系统的方程可以表明它在任何给定短时间内的行为。为了确定系统在较长时间内的行为，我们往往需要通过分析手段或'''迭代 Iteration'''（通常借助于计算机）来对方程进行积分。

我们通常用一个或多个微分方程或差分方程描述动力系统。一个给定动力系统的方程可以表明它在任何给定短时间内的行为。为了确定系统在较长时间内的行为，我们往往需要通过分析手段或'''迭代 Iteration'''（通常借助于计算机）来对方程进行积分。

物理世界中的动力系统往往产生于'''耗散系统 dissipative system'''：如果没有某种驱动力，运动就会停止。（耗散可能来自内部摩擦，热力学损失，材料损失等许多原因。）当耗散和驱动力趋于平衡时，'''初始瞬态 Initial transients'''会被消除，使系统进入其典型状态。与典型状态相对应的动力系统相空间的子集是吸引子——也称为吸引部分。

物理世界中的动力系统往往产生于'''耗散系统 dissipative system'''：如果没有某种驱动力，运动就会停止。（耗散可能来自内部摩擦，热力学损失，材料损失等许多原因。）当耗散和驱动力趋于平衡时，'''初始瞬态 Initial transients'''会被消除，使系统进入其典型状态。与典型状态相对应的动力系统相空间的子集是'''吸引子'''——也称为吸引部分。

不变集和极限集的概念与吸引子类似。不变集是在动力学作用下向自身演化的集合。<ref>{{cite book|author1=Carvalho, A.|author2=Langa, J.A.|author3=Robinson, J.|year=2012|title=Attractors for infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems|volume=182|publisher=Springer|p=109}}</ref>不变集可能包含于吸引子。极限集是一组点，这些点存在一定的初始状态，但是随着最终时间趋近无穷远时将任意接近极限集（即收敛到集合的每个点）。吸引子是极限集，但不是所有的极限集都是吸引子: 系统的某些点可能会收敛到极限集，但是稍微偏离极限集的点可能会被敲掉，永远不会回到极限集附近。

'''不变集 Invariant sets'''和'''极限集 limit sets'''的概念与吸引子类似。不变集是在动力学作用下向自身演化的集合。<ref>{{cite book|author1=Carvalho, A.|author2=Langa, J.A.|author3=Robinson, J.|year=2012|title=Attractors for infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems|volume=182|publisher=Springer|p=109}}</ref>不变集可能包含于吸引子。极限集是一组点，这些点存在一定的初始状态，但是随着最终时间趋近无穷远时将任意接近极限集（即收敛到集合的每个点）。吸引子是极限集，但不是所有的极限集都是吸引子: 系统的某些点可能会收敛到极限集，但是稍微偏离极限集的点可能会被敲掉，永远不会回到极限集附近。

例如，'''阻尼摆 damped pendulum'''有两个不变点: 最小高度点{{math|x₀}}和最大高度点{{math|x₁}}。点{{math|x₀}}也是一个极限集,因为轨迹向它收敛；点 {{math|x₁}}不是一个极限集。由于空气阻力的耗散，点{{math|x₀}}也是吸引子。如果没有耗散，{{math|x₀}}就不会出现吸引子。亚里士多德 Aristotle认为物体只有在被推动时才会移动——这是'''耗散吸引子 dissipative attractor'''的早期表述。

例如，'''阻尼摆 damped pendulum'''有两个不变点: 最小高度点{{math|x₀}}和最大高度点{{math|x₁}}。点{{math|x₀}}也是一个极限集,因为轨迹向它收敛；点 {{math|x₁}}不是一个极限集。由于空气阻力的耗散，点{{math|x₀}}也是吸引子。如果没有耗散，{{math|x₀}}就不会出现吸引子。亚里士多德 Aristotle认为物体只有在被推动时才会移动——这是'''耗散吸引子 dissipative attractor'''的早期表述。

: <math> f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ </math>

: <math> f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ </math>

吸引子是'''相空间 phase space'''的'''子集 subset'''A——这需要具有以下三个条件：

吸引子是'''相空间 phase space'''的'''子集 subset''' A——这需要具有以下三个条件：

* “A”是“f”中的“前向不变”：如果“A”是“A”的元素，则对于所有“t”>0，“f”（“t”，“A”）也是。

* “A”是“f”中的“前向不变”：如果“a”是“A”的元素，则对于所有“t”>0，“f”（“t”，“a”）也是。

* 存在一个“A”的邻域称为“A”的“吸引域”，表示为“B”（“A”），它由所有“B”点组成，这些点“B”在极限''t''&nbsp;→&nbsp;∞"时“进入”A“。更正式地说，“B”（“A”）是相空间中所有点“B”的集合，具有以下特性：

* 存在一个“A”的邻域称为“A”的“吸引域”，表示为“B”（“A”），它由所有“B”点组成，这些点“B”在极限''t''&nbsp;→&nbsp;∞"时“进入”A“。更正式地说，“B”（“A”）是相空间中所有点“B”的集合，具有以下特性：

::对于“A”的任何开邻域“N”，存在一个正常数“T”，使得对所有实数“T”>“T”，有''f''(''t'',''b'')∈''N''，。

::对于“A”的任何开邻域“N”，存在一个正常数“T”，使得对所有实数“t”>“T”，有''f''(''t'',''b'')∈''N''，。

* “A”中不存在具有前两个属性的正确（非空）子集。

* “A”中不存在具有前两个属性的真（非空）子集。

由于吸引域包含一个含有a的开集合，所以每一个足够接近a的点都会被a吸引。吸引子的定义使用了相空间上的一个度量，但得到的结果通常只取决于相空间的拓扑结构。在Rⁿ的情况下，我们通常会使用'''欧氏范数 Euclidean norm。

由于吸引域包含一个含有“A”的开集合，所以每一个足够接近“A”的点都会被“A”吸引。吸引子的定义使用了相空间上的一个度量，但得到的结果通常只取决于相空间的拓扑结构。在Rⁿ的情况下，我们通常会使用'''欧氏范数 Euclidean norm。

在文献中有吸引子的其他定义出现。例如，一些作者要求吸引子具有正测度（防止一个点成为吸引子），另一些作者则弱化了B(A)作为一个邻域的要求。<ref>{{cite journal | author=John Milnor | author-link=John Milnor | title= On the concept of attractor | journal=Communications in Mathematical Physics | year=1985 | volume=99 | pages=177–195| doi= 10.1007/BF01212280 | issue=2}}</ref>

在文献中有吸引子的其他定义出现。例如，一些作者要求吸引子具有正测度（防止一个点成为吸引子），另一些作者则弱化了B(A)作为一个邻域的要求。<ref>{{cite journal | author=John Milnor | author-link=John Milnor | title= On the concept of attractor | journal=Communications in Mathematical Physics | year=1985 | volume=99 | pages=177–195| doi= 10.1007/BF01212280 | issue=2}}</ref>

==吸引子的类型==

==吸引子的类型==

吸引子是动力系统的相空间的一部分或子集。直到20世纪60年代，吸引子被认为是相空间的简单几何子集——像点、线、面和简单的三维空间。更复杂的吸引子，不能被归类为简单的几何子集，如'''拓扑野生集 topologically wild sets'''——虽然在当时是已知的，但却被认为是脆弱的异常事物。斯蒂芬·斯梅尔 Stephen Smale能够证明他的马蹄映射是稳定的，它的吸引子具有'''康托尔集 Cantor set'''结构。

吸引子是动力系统的相空间的一部分或子集。直到20世纪60年代，吸引子被认为是相空间的简单几何子集——像点、线、面和简单的三维空间。更复杂的吸引子，不能被归类为简单的几何子集，如'''拓扑野生集 topologically wild sets'''——虽然在当时是已知的，但却被认为是精巧的异常事物。斯蒂芬·斯梅尔 Stephen Smale能够证明他的马蹄映射是稳定的，它的吸引子具有'''康托尔集 Cantor set'''结构。

两个简单的吸引子是一个'''不动点 fixed point'''和一个'''极限环 limit cycle'''。吸引子可以呈现出许多几何形状（相空间子集）。但当这些集合（或其中的运动）不能简单地描述为基本几何对象（例如，直线，曲面，球体，环面，流形）的简单组合（例如，交集和并集）时，这个吸引子就被称为“奇异吸引子”。

'''不动点 fixed point'''和'''极限环 limit cycle'''是两类简单的吸引子。吸引子可以呈现出许多几何形状（相空间子集）。但当这些集合（或其中的运动）不能简单地描述为基本几何对象（例如，直线，曲面，球体，环面，流形）的简单组合（例如，交集和并集）时，这个吸引子就被称为“奇异吸引子”。

===驻点===

===驻点===

[[文件：临界轨道3d.png |右|拇指|根据[[复二次多项式]]演化的复数的弱吸引不动点。相空间是水平复平面；纵轴测量访问复平面中的点的频率。复平面中峰值频率正下方的点是不动点吸引子。]]

[[文件：临界轨道3d.png |右|拇指|根据[[复二次多项式]]演化的复数的弱吸引不动点。相空间是水平复平面；纵轴测量访问复平面中的点的频率。复平面中峰值频率正下方的点是不动点吸引子。]]

Similar features apply to linear differential equations. The scalar equation <math> dx/dt =ax</math> causes all initial values of x except zero to diverge to infinity if a > 0 but to converge to an attractor at the value 0 if a < 0, making the entire number line the basin of attraction for 0. And the matrix system <math>dX/dt=AX</math> gives divergence from all initial points except the vector of zeroes if any eigenvalue of the matrix A is positive; but if all the eigenvalues are negative the vector of zeroes is an attractor whose basin of attraction is the entire phase space.

Similar features apply to linear differential equations. The scalar equation <math> dx/dt =ax</math> causes all initial values of x except zero to diverge to infinity if a > 0 but to converge to an attractor at the value 0 if a < 0, making the entire number line the basin of attraction for 0. And the matrix system <math>dX/dt=AX</math> gives divergence from all initial points except the vector of zeroes if any eigenvalue of the matrix A is positive; but if all the eigenvalues are negative the vector of zeroes is an attractor whose basin of attraction is the entire phase space.

类似的特征也适用于线性微分方程。标量方程<math> dx/dt =ax</math> 使得除0以外的所有 x 的初始值在 a > 0时发散到无穷大，但在 a < 0时收敛到吸引子，使整条数线成为0的吸引池。如果矩阵 A 的任何特征值是正的，则该矩阵系统<math>dX/dt=AX</math>从除零向量以外的所有初始点发散; 但如果所有特征值都是负的，则零向量就是吸引池为整个相空间的吸引子。

类似的特征也适用于线性微分方程。标量方程<math> dx/dt =ax</math> 使得除0以外的所有 x 的初始值在 a > 0时发散到无穷大，但在 a < 0时收敛到吸引子，使整条数轴成为0的吸引域。如果矩阵A的其中一个特征值是正的，则该矩阵系统<math>dX/dt=AX</math>从除零向量以外的所有初始点发散; 但如果所有特征值都是负的，则零向量就是吸引域，它是整个相空间的吸引子。

===Linear equation or system线性方程或系统===

===Linear equation or system线性方程或系统===

A single-variable (univariate) linear [[difference equation]] of the [[homogeneous equation|homogeneous form]] <math>x_t=ax_{t-1}</math> diverges to infinity if |''a''| > 1 from all initial points except 0; there is no attractor and therefore no basin of attraction. But if |''a''| < 1 all points on the number line map asymptotically (or directly in the case of 0) to 0; 0 is the attractor, and the entire number line is the basin of attraction.

A single-variable (univariate) linear [[difference equation]] of the [[homogeneous equation|homogeneous form]] <math>x_t=ax_{t-1}</math> diverges to infinity if |''a''| > 1 from all initial points except 0; there is no attractor and therefore no basin of attraction. But if |''a''| < 1 all points on the number line map asymptotically (or directly in the case of 0) to 0; 0 is the attractor, and the entire number line is the basin of attraction.

如果除了0以外的所有初始点|“A”>>1，单变量线性齐次方程<math>x|t=ax{t-1}</math>（差分方程）发散到无穷大；没有吸引子，因此没有吸引池。但如果 |''a''| < 1，则数线图上的所有点渐进（或在0的情况下直接映射）到0；0是吸引子，整个数线是吸引池。

如果除了0以外的所有初始点|“A”>>1，单变量线性齐次方程<math>x|t=ax{t-1}</math>（差分方程）发散到无穷大；没有吸引子，因此没有吸引域。但如果 |''a''| < 1，则数轴上的所有点渐进（或在0的情况下直接映射）到0；0是吸引子，整个数轴都是吸引域。

Equations or systems that are nonlinear can give rise to a richer variety of behavior than can linear systems. One example is Newton's method of iterating to a root of a nonlinear expression. If the expression has more than one real root, some starting points for the iterative algorithm will lead to one of the roots asymptotically, and other starting points will lead to another. The basins of attraction for the expression's roots are generally not simple&mdash;it is not simply that the points nearest one root all map there, giving a basin of attraction consisting of nearby points. The basins of attraction can be infinite in number and arbitrarily small. For example, for the function <math>f(x)=x^3-2x^2-11x+12</math>, the following initial conditions are in successive basins of attraction:

Equations or systems that are nonlinear can give rise to a richer variety of behavior than can linear systems. One example is Newton's method of iterating to a root of a nonlinear expression. If the expression has more than one real root, some starting points for the iterative algorithm will lead to one of the roots asymptotically, and other starting points will lead to another. The basins of attraction for the expression's roots are generally not simple&mdash;it is not simply that the points nearest one root all map there, giving a basin of attraction consisting of nearby points. The basins of attraction can be infinite in number and arbitrarily small. For example, for the function <math>f(x)=x^3-2x^2-11x+12</math>, the following initial conditions are in successive basins of attraction:

与线性系统相比，非线性方程或系统可以产生更多行为。一个例子是非线性表达式根的牛顿迭代法。如果表达式有多个实根，则迭代算法的某些起始点会渐近地靠近其中一个根，而其他起始点会得出另一个根。表达式根的吸引池通常并不简单，最接近某一个根的点都被映射到那里，从而形成由附近点组成的吸引区。吸引池在数值上可以是无限的，可以任意小。例如，对于函数<math>f(x)=x^3-2x^2-11x+12</math>，以下初始条件在连续的吸引池中：

与线性系统相比，非线性方程或系统有更多样的行为。一个例子是非线性表达式根的牛顿迭代法。如果表达式有多个实根，则迭代算法的某些起始点会渐近地靠近其中一个根，而其他起始点会得出另一个根。表达式根的吸引域通常并不简单，最接近某一个根的点都被映射到那里，从而形成由附近点组成的吸引区。吸引域在数量上可以是无限的，大小上可以任意小。例如，对于函数<math>f(x)=x^3-2x^2-11x+12</math>，在连续的吸引域中以下初始条件：

Likewise, a linear [[matrix difference equation]] in a dynamic [[coordinate vector|vector]] ''X'', of the homogeneous form <math>X_t=AX_{t-1}</math> in terms of [[square matrix]] ''A'' will have all elements of the dynamic vector diverge to infinity if the largest [[eigenvalue]] of ''A'' is greater than 1 in absolute value; there is no attractor and no basin of attraction. But if the largest eigenvalue is less than 1 in magnitude, all initial vectors will asymptotically converge to the zero vector, which is the attractor; the entire ''n''-dimensional space of potential initial vectors is the basin of attraction.

Likewise, a linear [[matrix difference equation]] in a dynamic [[coordinate vector|vector]] ''X'', of the homogeneous form <math>X_t=AX_{t-1}</math> in terms of [[square matrix]] ''A'' will have all elements of the dynamic vector diverge to infinity if the largest [[eigenvalue]] of ''A'' is greater than 1 in absolute value; there is no attractor and no basin of attraction. But if the largest eigenvalue is less than 1 in magnitude, all initial vectors will asymptotically converge to the zero vector, which is the attractor; the entire ''n''-dimensional space of potential initial vectors is the basin of attraction.