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| 两种共形模型(圆盘和半平面)之间可以互相变换:圆盘的边缘对应半平面的下边界(叶节点),而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的,叫做莫比乌斯变换。没错,就是发现莫比乌斯环的那位。 | | 两种共形模型(圆盘和半平面)之间可以互相变换:圆盘的边缘对应半平面的下边界(叶节点),而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的,叫做莫比乌斯变换。没错,就是发现莫比乌斯环的那位。 |
| + | [[文件:图16 莫比乌斯与共形模型变换(图片来源于网络)2.png|居中|缩略图|1080x1080像素|图16:莫比乌斯与共形模型变换(图片来源于网络)]] |
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| 图16 莫比乌斯与共形模型变换(图片来源于网络) | | 图16 莫比乌斯与共形模型变换(图片来源于网络) |
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| 圆盘模型和半平面模型是使用最多的共形模型,但实际上共形模型还有很多种。黎曼映射原理指出,任何单连通(没有洞)的图形都能共形地映射到单位圆内,反之亦然。 也就是说共形模型之间都可以互相变换。 | | 圆盘模型和半平面模型是使用最多的共形模型,但实际上共形模型还有很多种。黎曼映射原理指出,任何单连通(没有洞)的图形都能共形地映射到单位圆内,反之亦然。 也就是说共形模型之间都可以互相变换。 |
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− | 例如Bands模型,使用双曲函数将圆盘展开拉伸,变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。 | + | 例如Bands模型,使用双曲函数将圆盘展开拉伸,变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。 <gallery widths="800" heights="400"> |
| + | 文件:图17 从圆盘模型变换到Bands模型(图片来源于http---bulatov.org).gif|图17 从圆盘模型变换到Bands模型(图片来源于http://bulatov.org) |
| + | 文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络).jpeg|图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络) |
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− | 图17 从圆盘模型变换到Bands模型(图片来源于http://bulatov.org)
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− | [[文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络)|缩略图]]
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− | 图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于http://bulatov.org)
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| 有了黎曼映射定理的加持,共形模型还可以变换出星形、环形、螺旋形.…..这就是为什么数学家的信条是,发明(或证明)一个定理才是一件最实用的事! | | 有了黎曼映射定理的加持,共形模型还可以变换出星形、环形、螺旋形.…..这就是为什么数学家的信条是,发明(或证明)一个定理才是一件最实用的事! |
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− | 文件:图19 共形模型的各种变换(图片来源于http---bulatov.org)1.jpg|图19:共形模型的各种变换(图片来源于http://bulatov.org) | + | 文件:图19 共形模型的各种变换(图片来源于http---bulatov.org)1.jpg |
− | 文件:图19 共形模型的各种变换(图片来源于http---bulatov.org)2.jpg|图19:共形模型的各种变换(图片来源于http://bulatov.org) | + | 文件:图19 共形模型的各种变换(图片来源于http---bulatov.org)2.jpg |
| + | 文件:图19 共形模型的各种变换(图片来源于http---bulatov.org)3.png|图19:共形模型的各种变换(图片来源于http://bulatov.org) |
| 文件:图19 共形模型的各种变换(图片来源于http---bulatov.org)4.gif|图19:共形模型的各种变换(图片来源于http://bulatov.org) | | 文件:图19 共形模型的各种变换(图片来源于http---bulatov.org)4.gif|图19:共形模型的各种变换(图片来源于http://bulatov.org) |
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