更改

这里，[math]p(y|x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)[/math]为给定x的条件下，y的条件概率密度函数。由于[math]\varepsilon[/math]服从均值为0，方差为[math]\sigma^2[/math]的正态分布，所以[math]y=f(x)+\varepsilon[/math]就服从均值为[math]f(x)[/math]，方差为[math]\sigma^2[/math]的正态分布。

这里，[math]p(y|x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)[/math]为给定x的条件下，y的条件概率密度函数。由于[math]\varepsilon[/math]服从均值为0，方差为[math]\sigma^2[/math]的正态分布，所以[math]y=f(x)+\varepsilon[/math]就服从均值为[math]f(x)[/math]，方差为[math]\sigma^2[/math]的正态分布。

y的积分区间为：[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]，即将x的定义域[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}[/math]经过f的映射，形成y上的区间范围。

y的积分区间为：[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]，即将x的定义域[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][/math]经过f的映射，形成y上的区间范围。

[math]p(y)=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)dx[/math]为y的概率密度函数，它也可以由联合概率密度函数[math]p(x,y)=p(x)p(y|x)[/math]对x进行积分得到。

[math]p(y)=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)dx[/math]为y的概率密度函数，它也可以由联合概率密度函数[math]p(x,y)=p(x)p(y|x)[/math]对x进行积分得到。

由于L很大，所以区间[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}[/math]，进而假设区间[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]也很大。这就使得，上述积分的积分上下界可以近似取到无穷大，也就有{{EquationNote|4}}中的第一项为：

由于L很大，所以区间[math][-\frac{L}{2},\frac{L}{2}][/math]，进而假设区间[math]f([-\frac{L}{L},\frac{L}{2}])[/math]也很大。这就使得，上述积分的积分上下界可以近似取到无穷大，也就有{{EquationNote|4}}中的第一项为：

<math>

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\begin{aligned}

\begin{aligned}

\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x)p(y|x)\ln p(y|x)dydx&\approx \int_{-\infty}^{\infty}\int_{\infty}^{\infty}p(x)p(y|x)\ln p(y|x)dydx\\

\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{f([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}])}p(x)p(y|x)\ln p(y|x)dydx&\approx \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}p(x)p(y|x)\ln p(y|x)dydx\\

&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\infty}{\infty}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\left[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\right]dydx\\

&=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{L}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\ln\left[\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(y-f(x))^2}{\sigma^2}\right)\right]dydx\\

&=\ln(\frac{L}{\sqrt{2\pi e}})

&=\ln(\frac{L}{\sqrt{2\pi e}})

\end{aligned}

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