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==引言==

==引言==

[[File:Simple_Fractals.png|300px|thumb|upright=3|通过 javascript 创建一个简单的分形树 |right]]

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和数学家们相比，分形一词对大众来说含义不尽相同。相对于数学概念来说，大众可能更熟悉'''分形艺术 Fractal Art'''。即使是对数学家来说分形也很难进行一个准确的定义。但即使没有多少数学背景，也可以理解分形的核心特征。

和数学家们相比，分形一词对大众来说含义不尽相同。相对于数学概念来说，大众可能更熟悉'''分形艺术 Fractal Art'''。即使是对数学家来说分形也很难进行一个准确的定义。但即使没有多少数学背景，也可以理解分形的核心特征。

'''“自相似性  Self-Similarity”'''的特征很容易理解，它类似于用镜头或其它装置放大图像，以便发现更精细的、以前看不见的新结构。 然而，如果放大一个分形的图像，就不会出现新的细节; 图像没有任何变化，相同的图案一遍遍地重复出现。或者对于某些分形来说，几乎相同的图案一遍遍地重复出现。 自相似性本身并不一定违反直觉。人们在生活中也能看到自我相似的现象，例如：两面平行的镜子间的无限重复、山上庙里老和尚的故事里的山......分形的不同之处在于重复的图案一定有着详尽的细节。

'''“自相似性  Self-Similarity”'''的特征很容易理解，它类似于用镜头或其它装置放大图像，以便发现更精细的、以前看不见的新结构。 然而，如果放大一个分形的图像，就不会出现新的细节; 图像没有任何变化，相同的图案一遍遍地重复出现。或者对于某些分形来说，几乎相同的图案一遍遍地重复出现。 自相似性本身并不一定违反直觉。人们在生活中也能看到自我相似的现象，例如：两面平行的镜子间的无限重复、山上庙里老和尚的故事里的山......分形的不同之处在于重复的图案一定有着详尽的细节。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="Mandelbrot quote" />

 

这也引出了分形的第三个特征：分形在数学上是处处不可微的。具体来说，这意味着分形不能用传统的方法进行测量。当测量波浪型非分形曲线的长度时，通过尽可能的放大，总能找到可测量的直线来拟合一小段曲线，从而就能用卷尺测量这段直线的长度，再将各段直线长度相加，就可以得出波浪的长度。这样做实质上是把曲线看作数学上的函数，在一小段范围内取一阶泰勒展开，近似为直线，然后求和总长度。但是在测量无限“扭动”的分形曲线时，譬如科赫雪花。（科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的） 因为不论缩放到多小的尺度，锯齿状的图案总是会重复出现，因此，我们无法找到一条足够小的直线段来拟合曲线。当试图将卷尺越来越贴合曲线时，卷尺总会被拉长一些，这导致我们必须用无限长的卷尺才能完美的拟合整条科赫曲线。也就是说，科赫曲线的长度为无限大。同理，科赫雪花的周长也无限大。

这也引出了分形的第三个特征：分形在数学上是处处不可微的。具体来说，这意味着分形不能用传统的方法进行测量。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="vicsek" /><ref name="Gordon" />当测量波浪型非分形曲线的长度时，通过尽可能的放大，总能找到可测量的直线来拟合一小段曲线，从而就能用卷尺测量这段直线的长度，再将各段直线长度相加，就可以得出波浪的长度。这样做实质上是把曲线看作数学上的函数，在一小段范围内取一阶泰勒展开，近似为直线，然后求和总长度。但是在测量无限“扭动”的分形曲线时，譬如科赫雪花。（科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的） 因为不论缩放到多小的尺度，锯齿状的图案总是会重复出现，因此，我们无法找到一条足够小的直线段来拟合曲线。当试图将卷尺越来越贴合曲线时，卷尺总会被拉长一些，这导致我们必须用无限长的卷尺才能完美的拟合整条科赫曲线。也就是说，科赫曲线的长度为无限大。同理，科赫雪花的周长也无限大。<ref name="Mandelbrot1983" />