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\sigma_{r+1}=\sigma_{r+2}=...=\sigma_{N}=0
\sigma_{r+1}=\sigma_{r+2}=...=\sigma_{N}=0
</math>
</math>
在这种情况下，<math>
P\cdot P^{T}
</math>可以被写作：
<math>
P\cdot P^{T}=\begin{pmatrix}
I_{(r-1)\times (r-1)},& \Omicron_{(r-1)\times (N-r+1)}\\
\Omicron_{(N-r+1)\times (r-1)}, & \mathbb{I}_{(N-r+1)\times (N-r+1)}
\end{pmatrix},
</math>
</math>
其中<math>
I_{(r-1)\times (r-1)}
</math>是大小为(r − 1) × (r − 1)的单位矩阵，<math>
\Omicron
</math>和<math>
\mathbb{I}
</math>是所有元素分别均为0和1的矩阵。因此，P的奇异值按降序排列为：
<math>\sigma=(\sqrt{N-r+1},1,1,...,1,0,0,...,0)
</math>
因此：
<math>
\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{r}\ge 1
</math>
情况2：如果<math>
P_{i}\cdot P_{j}=1
</math> 仅在 i = j 时成立，则非零元素都位于<math>
P\cdot P^{T}
</math>的对角线上，因此<math>
P\cdot P^{T}=I
</math>。此时<math>
P^{T}=P^{-1}
</math>，且 P 必须是置换矩阵，并且所有奇异值都是1。这也符合引理2的陈述。
引理3：对于给定的TPMP ，任何<math>\alpha\in (0, 2) </math>的动态可逆性<math>\Gamma_{\alpha}</math>的度量小于或等于系统的大小 N 。
==参考文献==
==参考文献==
<references />
<references />