更改

其中[math]\psi[/math]为一个可逆函数，由一个[[可逆神经网络]]来实现，[math]\xi[/math]为[[投影函数]]，即去除[math]p[/math]维向量中的后[math]p-q[/math]个维度分量，这里[math]p,q[/math]分别为微观态和宏观态的维度。[math]\circ[/math]为函数的合成操作。

其中[math]\psi[/math]为一个可逆函数，由一个[[可逆神经网络]]来实现，[math]\xi[/math]为[[投影函数]]，即去除[math]p[/math]维向量中的后[math]p-q[/math]个维度分量，这里[math]p,q[/math]分别为微观态和宏观态的维度。[math]\circ[/math]为函数的合成操作。

解码器为函数[math]\phi^{\dagger}[math]，它定义为：

解码器为函数[math]\phi^{\dagger}[/math]，它定义为：

<math>

<math>

</math>

</math>

这里[math]z\sim\mathca{Ν}\left (0,I_{p-q}\right )[/math]为一个[math]p-q[/math]维随机向量，服从标准正态分布。

这里[math]z\sim\mathcal{Ν}\left (0,I_{p-q}\right )[/math]为一个[math]p-q[/math]维随机向量，服从标准正态分布。

然而，由于优化维度平均[[有效信息]]存在困难，文章<ref name="NIS" />并没有直接优化{{EquationRef{1}}}，而是采用了一种取巧的方法。为了解决这个问题，作者将优化过程分为两个阶段，第一个阶段为在给定宏观尺度<math>q </math>的情况下最小化微观态预测误差，即<math>\min _{\phi, f_q, \phi^{\dagger}}\left\|\phi^{\dagger}(Y(t+1))-X_{t+1}\right\|<\epsilon </math>并得到最优的宏观态动力学[math]f_q^\ast[/math]；第二阶段为搜索超参<math>q </math>，使得有效信息[math]\mathcal{J}[/math]能够最大化，即<math>\max_{q}\mathcal{J}(f_{q}^\ast) </math> 。

然而，由于优化维度平均[[有效信息]]存在困难，文章<ref name="NIS" />并没有直接优化{{EquationRef{1}}}，而是采用了一种取巧的方法。为了解决这个问题，作者将优化过程分为两个阶段，第一个阶段为在给定宏观尺度<math>q </math>的情况下最小化微观态预测误差，即<math>\min _{\phi, f_q, \phi^{\dagger}}\left\|\phi^{\dagger}(Y(t+1))-X_{t+1}\right\|<\epsilon </math>并得到最优的宏观态动力学[math]f_q^\ast[/math]；第二阶段为搜索超参<math>q </math>，使得有效信息[math]\mathcal{J}[/math]能够最大化，即<math>\max_{q}\mathcal{J}(f_{q}^\ast) </math>  

除了能基于时序数据自动识别因果涌现，该框架还有很好的理论性质，其中有两个重要定理：

除了能基于时序数据自动识别因果涌现，该框架还有很好的理论性质，其中有两个重要定理：

'''定理一'''：神经信息挤压器的[[信息瓶颈]]，即对于任意的双射<math>\mathrm{\Psi} </math>、投影<math>\chi </math>、宏观动力学<math>f </math>以及高斯噪音<math>z_{p-q}\sim\mathca{Ν}\left (0,I_{p-q}\right ) </math>，

'''定理一'''：神经信息挤压器的[[信息瓶颈]]，即对于任意的双射<math>\mathrm{\Psi} </math>、投影<math>\chi </math>、宏观动力学<math>f </math>以及高斯噪音<math>z_{p-q}\sim\mathcal{Ν}\left (0,I_{p-q}\right ) </math>，

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