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=== 反向动力学 ===

=== 反向动力学 ===

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正向动力学<math> f </math>训练是最小化预测误差<math>L_1</math>，即<math>\left\|\phi_q^{\dagger}(Y(t+1))-X_{t+1}\right\| </math>，保证动力学预测未来的准确性，但是EI作为一种特殊的互信息，不仅与确定性有关，还与简并性有关。我们需要在提高动力学学习器的确定性的同时，提高它的非简并性。因此，作者在NIS的框架基础之上，加入了反向动力学<math> g </math>，用以反向预测。即输入<math>y_{t+1}</math>，通过动力学学习器<math>g</math>之后，得到宏观量的反向预测值<math>\hat{y}_{t}</math>，使<math>y_{t+1}</math>和<math>\hat{y}_{t}</math>之间的误差值<math>L_2</math>最小化。通过训练反向动力学学习器<math>g</math>，我们可以影响编码器，进而影响隐空间中的数据分布，从而使得动力学学习器<math>f</math>可以学到一个简并性低的动力学。

正向动力学<math> f </math>训练是最小化预测误差<math>L_1</math>，即<math>\left\|\phi_q^{\dagger}(Y(t+1))-X_{t+1}\right\| </math>，保证动力学预测未来的准确性，但是EI作为一种特殊的互信息，不仅与确定性有关，还与简并性有关。我们需要在提高动力学学习器的确定性的同时，提高它的非简并性。因此，作者在NIS的框架基础之上，加入了反向动力学<math> g </math>，用以反向预测。即输入<math>y_{t+1}</math>，通过动力学学习器<math>g</math>之后，得到宏观量的反向预测值<math>\hat{y}_{t}</math>，使<math>y_{t+1}</math>和<math>\hat{y}_{t}</math>之间的误差值<math>L_2</math>最小化。通过训练反向动力学学习器<math>g</math>，我们可以影响编码器，进而影响隐空间中的数据分布，从而使得动力学学习器<math>f</math>可以学到一个简并性低的动力学。

=== 分阶段训练 ===

=== 分阶段训练 ===

=== 面对大规模复杂系统的拓展 ===

=== 面对大规模复杂系统的拓展 ===

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在实际应用中，如果系统不是小规模系统，而是类似[[元胞自动机 Cellular Automata|元胞自动机]]的大规模的复杂系统，我们需要对此框架进行拓展，将编码器（解码器）进行组合，从而减轻模型训练的压力和难度。

在实际应用中，如果系统不是小规模系统，而是类似[[元胞自动机 Cellular Automata|元胞自动机]]的大规模的复杂系统，我们需要对此框架进行拓展，将编码器（解码器）进行组合，从而减轻模型训练的压力和难度。

其中，<math>\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2 \sim \scriptsize{N}(0,\Sigma) </math>为相互独立的二维高斯噪声，<math>\Sigma </math>为相关矩阵。微观状态序列<math>\boldsymbol{x}_t = (\boldsymbol{S}'_t,\boldsymbol{I}'_t) </math>作为实验中的训练样本。作者在图(a)的三角形区域内采样，以此来随机选择初始条件，并使用上述过程生成时间序列数据，用以训练模型。

其中，<math>\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2 \sim \scriptsize{N}(0,\Sigma) </math>为相互独立的二维高斯噪声，<math>\Sigma </math>为相关矩阵。微观状态序列<math>\boldsymbol{x}_t = (\boldsymbol{S}'_t,\boldsymbol{I}'_t) </math>作为实验中的训练样本。作者在图(a)的三角形区域内采样，以此来随机选择初始条件，并使用上述过程生成时间序列数据，用以训练模型。

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[[文件:NIS+_sir.jpg|替代=|无框|700x700像素]]

 

其中<math>(x_i^t,y_i^t) </math>是位置，<math>(v_{x,i}^t,v_{y,i}^t) </math>是时刻t的速度，<math>i=1,2,\dots,16 </math>。

其中<math>(x_i^t,y_i^t) </math>是位置，<math>(v_{x,i}^t,v_{y,i}^t) </math>是时刻t的速度，<math>i=1,2,\dots,16 </math>。

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== 生命游戏模型实验 ==

== 生命游戏模型实验 ==

康威的生命游戏是一个著名的二维元胞自动机模型，在这个模型上出现了滑翔机、正方形、花朵、信号灯、蜂窝、交通灯等各种有趣的动态模式。与SIR模型和Boids模型不同的是，在规则网格上，生命游戏模型在每个时间步长的微观状态是离散的（0或1）。此外，微观动力学不能用微分方程或差分方程来表示，而是用规则表来表示。[[文件:Gamelife.png|无框|800x800px|1|替代=|左]]一、NIS+捕获模式的能力。

 

康威的生命游戏是一个著名的二维元胞自动机模型，在这个模型上出现了滑翔机、正方形、花朵、信号灯、蜂窝、交通灯等各种有趣的动态模式。与SIR模型和Boids模型不同的是，在规则网格上，生命游戏模型在每个时间步长的微观状态是离散的（0或1）。此外，微观动力学不能用微分方程或差分方程来表示，而是用规则表来表示。

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一、NIS+捕获模式的能力。

我们使用随机初始条件下模拟生成的数据来训练NIS+，并提取从第100步到第120步的状态时间序列。图(a)、(b)和(c)显示了由真实宏观机制模拟(第一行)和NIS+预测(第三行)生成的动态模式，以及可以进行这些预测的涌现宏观状态(第二行)。我们将两个连续时间步长的图像输入到NIS+中，再用两个连续时间步长得到另一个图像对。把上面的图片和下面的图片比较一下，图案是相似的。然而，由于在随机初始条件下具有某些模式的训练样本出现有限，第三列的学习和预测模式有些（特别是“滑翔机”模式）显得模糊。为了提高预测的质量，我们可以生成一组包含两个“滑翔机”初始条件的新训练样本。结果如图(d)所示，尽管这个测试环境中的滑翔机数量是3个，预测也更加清晰。这意味着，NIS+可以捕获包括移动、静态和振荡结构在内的模式。

我们使用随机初始条件下模拟生成的数据来训练NIS+，并提取从第100步到第120步的状态时间序列。图(a)、(b)和(c)显示了由真实宏观机制模拟(第一行)和NIS+预测(第三行)生成的动态模式，以及可以进行这些预测的涌现宏观状态(第二行)。我们将两个连续时间步长的图像输入到NIS+中，再用两个连续时间步长得到另一个图像对。把上面的图片和下面的图片比较一下，图案是相似的。然而，由于在随机初始条件下具有某些模式的训练样本出现有限，第三列的学习和预测模式有些（特别是“滑翔机”模式）显得模糊。为了提高预测的质量，我们可以生成一组包含两个“滑翔机”初始条件的新训练样本。结果如图(d)所示，尽管这个测试环境中的滑翔机数量是3个，预测也更加清晰。这意味着，NIS+可以捕获包括移动、静态和振荡结构在内的模式。

作者在830名受试者(AOMIC ID1000)的大脑fMRI真实时间序列数据上测试了NIS+<ref name=":7">Snoek L, Miesen M and Beemsterboer T et al. The amsterdam open mri collection, a set of multimodal mri datasets for individual difference analyses. Sci Data 2021; 8: 03.</ref>。fMRI扫描数据是在受试者观看同一段电影时收集的，这对应于具有不同初始条件的相同动力学的时间序列。采样率（重复时间）为：ID1000为2.2s，PIOP2为2s。我们通过Schaefer atlas方法对原始数据进行预处理<ref>Schaefer A, Kong R and Gordon E-M et al. Local-Global Parcellation of the Human Cerebral Cortex from Intrinsic Functional Connectivity MRI. Cereb Cortex 2017; 28:3095–3114.</ref>，将每个受试者的时间序列维数从大约140,000（不同受试者的维数不同）降至100，使NIS+能够运行并获得更清晰的结果。然后，选取前800个时间序列数据进行训练，剩下的30个时间序列进行测试。作者还将结果与另一个fMRI数据集AOMIC PIOP2<ref name=":7" />进行了比较，其中50名受试者处于静息状态。

作者在830名受试者(AOMIC ID1000)的大脑fMRI真实时间序列数据上测试了NIS+<ref name=":7">Snoek L, Miesen M and Beemsterboer T et al. The amsterdam open mri collection, a set of multimodal mri datasets for individual difference analyses. Sci Data 2021; 8: 03.</ref>。fMRI扫描数据是在受试者观看同一段电影时收集的，这对应于具有不同初始条件的相同动力学的时间序列。采样率（重复时间）为：ID1000为2.2s，PIOP2为2s。我们通过Schaefer atlas方法对原始数据进行预处理<ref>Schaefer A, Kong R and Gordon E-M et al. Local-Global Parcellation of the Human Cerebral Cortex from Intrinsic Functional Connectivity MRI. Cereb Cortex 2017; 28:3095–3114.</ref>，将每个受试者的时间序列维数从大约140,000（不同受试者的维数不同）降至100，使NIS+能够运行并获得更清晰的结果。然后，选取前800个时间序列数据进行训练，剩下的30个时间序列进行测试。作者还将结果与另一个fMRI数据集AOMIC PIOP2<ref name=":7" />进行了比较，其中50名受试者处于静息状态。

[[文件:NIS+ brain.jpg|替代=|650x650px|无框|左]]

[[文件:NIS+_brain.jpg|替代=|无框|650x650像素]]

一、对微观状态的预测能力。

一、对微观状态的预测能力。