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2020年，Klein和Hoel改进马尔科夫链上定量化因果涌现的方法以应用到[[复杂网络]]中<ref>Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>，作者借助[[随机游走子]]来定义网络中的[[马尔科夫链]]，将随机游走子放在节点上等价于对节点做干预，然后基于随机游走概率定义节点间的转移概率矩阵。同时作者将[[有效信息]]与网络的连通性建立联系，连通性可以通过节点的出边和入边的权重的不确定性来表征，基于此定义复杂网络中的有效信息。详细方法可以参考[[复杂网络中的因果涌现]]。

2020年，Klein和Hoel改进马尔科夫链上定量化因果涌现的方法以应用到[[复杂网络]]中<ref>Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>，作者借助[[随机游走子]]来定义网络中的[[马尔科夫链]]，将随机游走子放在节点上等价于对节点做干预，然后基于随机游走概率定义节点间的转移概率矩阵。同时作者将[[有效信息]]与网络的连通性建立联系，连通性可以通过节点的出边和入边的权重的不确定性来表征，基于此定义复杂网络中的有效信息。详细方法可以参考[[复杂网络中的因果涌现]]。

作者在[[随机网络模型|随机网络]]（ER）、[[偏好依赖网络]]（PA）等人工网络以及四类真实网络中进行了实验比较，发现：对于ER网络来说，有效信息的大小只依赖于连接概率<math>p </math>，并且随着网络规模的增大会收敛到数值<math>-\log_2p </math>。同时一个关键发现表明，EI数值存在一个相变点，该相变点近似在网络的[[平均度]]（<math><k> </math>）等于<math>\log_2N </math>的位置出现，同样对应于ER网络随着连接概率增加而出现[[巨连通集团]]的[[相变点]]位置，超过该相变点随机网络结构不会随着其规模的增加而包含更多的信息。对于偏好依附模型网络来说，当网络[[度分布]]的幂律指数<math>\alpha<1.0 </math>时，有效信息的大小会随着网络规模的增加而增大；当<math>\alpha>1.0 </math>时，结论相反；<math>\alpha=1.0 </math>刚好对应的[[无标度网络]]则是增长的[[临界边界]]。对于真实网络来说，作者们发现，生物网络因为具有很大的噪音，所以有效信息最低。然而，我们可以通过有效的粗粒化去除这些噪音，这就使得生物网络相比于其他类型网络能够展现出更显著的因果涌现现象；而因为技术类型网络是更稀疏、非退化，因此，平均效率更高，节点关系也更加具体，所有有效信息也最高，但是难以通过粗粒化来增加因果涌现度量。  

作者在[[随机网络模型|随机网络]]（ER）、[[偏好依附网络模型]]（PA）等人工网络以及四类真实网络中进行了实验比较，发现：对于ER网络来说，有效信息的大小只依赖于连接概率<math>p </math>，并且随着网络规模的增大会收敛到数值<math>-\log_2p </math>。同时一个关键发现表明，EI数值存在一个相变点，该相变点近似在网络的[[平均度]]（<math><k> </math>）等于<math>\log_2N </math>的位置出现，同样对应于ER网络随着连接概率增加而出现[[巨连通集团]]的[[相变点]]位置，超过该相变点随机网络结构不会随着其规模的增加而包含更多的信息。对于偏好依附模型网络来说，当网络[[度分布]]的幂律指数<math>\alpha<1.0 </math>时，有效信息的大小会随着网络规模的增加而增大；当<math>\alpha>1.0 </math>时，结论相反；<math>\alpha=1.0 </math>刚好对应的[[无标度网络]]则是增长的[[临界边界]]。对于真实网络来说，作者们发现，生物网络因为具有很大的噪音，所以有效信息最低。然而，我们可以通过有效的粗粒化去除这些噪音，这就使得生物网络相比于其他类型网络能够展现出更显著的因果涌现现象；而因为技术类型网络是更稀疏、非退化，因此，平均效率更高，节点关系也更加具体，所有有效信息也最高，但是难以通过粗粒化来增加因果涌现度量。  

在该文章中，作者使用[[贪婪算法]]来粗粒化网络，然而对于大规模网络来说，这种算法效率很低。随后，Griebenow等<ref>Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>提出了一种基于[[谱聚类]]的方法来识别[[偏好依附网络]]中的因果涌现。相比[[贪婪算法]]以及[[梯度下降算法]]，[[谱聚类算法]]的计算时间更少，同时找到的宏观网络的因果涌现也更加显著。

在该文章中，作者使用[[贪婪算法]]来粗粒化网络，然而对于大规模网络来说，这种算法效率很低。随后，Griebenow等<ref>Griebenow R, Klein B, Hoel E. Finding the right scale of a network: efficient identification of causal emergence through spectral clustering[J]. arXiv preprint arXiv:190807565, 2019.</ref>提出了一种基于[[谱聚类]]的方法来识别[[偏好依附网络]]中的因果涌现。相比[[贪婪算法]]以及[[梯度下降算法]]，[[谱聚类算法]]的计算时间更少，同时找到的宏观网络的因果涌现也更加显著。