更改

我们现在可以定义宏观与微观尺度的编码：微观尺度编码对应从φ : {x1, x2, x3, x4} → {00, 01, 10, 11} 的一一映射，解码函数：ψ : {00, 01, 10, 11}→ {y1, y2, y3, y4}，每个微观状态 x 都携带其独特的信息。以这种方式干预系统的熵[math]H(I_D) = 2 bits[/math]，因为它的四种可能状态是连续的随机干预(因此[math]p(1) = 0.5[/math])。每个码指定一个传输速率[math]R = n/t[/math]，其中[math]t[/math]是系统的每次状态转换，[math]n[/math]是每次转换发送的比特数。上述系统的微观尺度编码速率[math]R = 2 bits[/math]，但这2 bits发送并不可靠。这是因为[math]H(I_D \mid E_D)[/math]比较大:1.19 bits，所以[math]I(I_D; E_D) = H(I_D)−H(I_D \mid E_D) = 0.81 bits[/math]。在实际应用中，这意味着如果想要发送消息{00,10,11,01,00,11}，这将需要使用6个通道，并且出现大量错误的可能性非常高。这是因为速率R超过了微观尺度的容量。

我们现在可以定义宏观与微观尺度的编码：微观尺度编码对应从φ : {x1, x2, x3, x4} → {00, 01, 10, 11} 的一一映射，解码函数：ψ : {00, 01, 10, 11}→ {y1, y2, y3, y4}，每个微观状态 x 都携带其独特的信息。以这种方式干预系统的熵[math]H(I_D) = 2 bits[/math]，因为它的四种可能状态是连续的随机干预(因此[math]p(1) = 0.5[/math])。每个码指定一个传输速率[math]R = n/t[/math]，其中[math]t[/math]是系统的每次状态转换，[math]n[/math]是每次转换发送的比特数。上述系统的微观尺度编码速率[math]R = 2 bits[/math]，但这2 bits发送并不可靠。这是因为[math]H(I_D \mid E_D)[/math]比较大:1.19 bits，所以[math]I(I_D; E_D) = H(I_D)−H(I_D \mid E_D) = 0.81 bits[/math]。在实际应用中，这意味着如果想要发送消息{00,10,11,01,00,11}，这将需要使用6个通道，并且出现大量错误的可能性非常高。这是因为速率R超过了微观尺度的容量。

相反，我们可以将宏尺度编码函数定义为多对一映射Φ:{x1, x2, x3}→{0};{x4}→{1}，类似Ψ:{y1, y2, y3}→{0};{y4}→{1}，使得只有宏观状态被用作干预，即假设它们携带不同的信息。这套编码发送消息的速度慢了两倍，因为[math]R = 1 bit[\math]，并且对应的熵[math]H(I_D)[\math]减半(1 bit;p(1) = 0.83)。因为[math]H(I_D \mid E_D) = 0，I(I_D; E_D) = 1 bit[/math]，表明可靠的干预可以以1 bit的速率进行，比使用微观尺度编码的速率高。在这个宏观尺度上，传递任何信息都不会有错误，通信速率等于容量C。

相反，我们可以将宏尺度编码函数定义为多对一映射Φ:{x1, x2, x3}→{0};{x4}→{1}，类似Ψ:{y1, y2, y3}→{0};{y4}→{1}，使得只有宏观状态被用作干预，即假设它们携带不同的信息。这套编码发送消息的速度慢了两倍，因为[math]R = 1 bit[/math]，并且对应的熵[math]H(I_D)[/math]减半(1 bit;p(1) = 0.83)。因为[math]H(I_D \mid E_D) = 0，I(I_D; E_D) = 1 bit[/math]，表明可靠的干预可以以1 bit的速率进行，比使用微观尺度编码的速率高。在这个宏观尺度上，传递任何信息都不会有错误，通信速率等于容量C。

因此可以说明因果涌现需要对称性破缺。当通道的行[math]p(y \mid x)[/math]和列互为排列时，信道被定义为对称的。如果行概率是彼此的排列，并且满足所有列和相等，则信道是弱对称的。对于任何这样的对称通道，产生[math]I_{max}[/math]的输入分布已被证明为均匀分布[math]H_{max}[/math]。在微观尺度上处理系统意味着[math]I_D = H_{max}[/math]。因此，对于对称或弱对称系统，微观尺度提供了最佳的因果模型，而无需在模型空间中搜索。只有在因果关系不对称的系统中，才可能出现因果涌现。

因此可以说明因果涌现需要对称性破缺。当通道的行[math]p(y \mid x)[/math]和列互为排列时，信道被定义为对称的。如果行概率是彼此的排列，并且满足所有列和相等，则信道是弱对称的。对于任何这样的对称通道，产生[math]I_{max}[/math]的输入分布已被证明为均匀分布[math]H_{max}[/math]。在微观尺度上处理系统意味着[math]I_D = H_{max}[/math]。因此，对于对称或弱对称系统，微观尺度提供了最佳的因果模型，而无需在模型空间中搜索。只有在因果关系不对称的系统中，才可能出现因果涌现。