5,443
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第61行：
第61行： − 则该映射在这些正交标准基下有一个简洁的描述：+ 第68行：
第68行： − +
→几何意义：
</math>
</math>
则该映射在这些[[标准正交基]]下有一个简洁的描述：
<math>T(\mathbf{V}_i)=\sigma_i\mathbf{U}_i, \qquad i=1,\ldots,\min(m,n),</math>
<math>T(\mathbf{V}_i)=\sigma_i\mathbf{U}_i, \qquad i=1,\ldots,\min(m,n),</math>
所谓的[[SVD定理]]的几何含义可以概括为：对于每个线性映射<math>T:K^n\to K^m</math>，我们能找到<math>K^n</math>和<math>K^m</math>的标准正交基，使<math>T</math>将<math>K^n</math>的第<math>i</math>个基向量映射到<math>K^m</math>的第<math>i</math>个基向量的非负倍数，并将剩余基向量映射到零。在这些基下，映射<math>T</math>表现为一个具有非负实数对角元素的对角矩阵。
所谓的[[SVD定理]]的几何含义可以概括为：对于每个线性映射<math>T:K^n\to K^m</math>，我们能找到<math>K^n</math>和<math>K^m</math>的[[标准正交基]]，使<math>T</math>将<math>K^n</math>的第<math>i</math>个基向量映射到<math>K^m</math>的第<math>i</math>个基向量的非负倍数，并将剩余基向量映射到零。在这些基下，映射<math>T</math>表现为一个具有非负实数对角元素的对角矩阵。
为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体[[半轴]]（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：
为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体[[半轴]]（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：