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</math>的复杂性度量。它反映了在给定精度<math>

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\mu

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</math>下，最小模型的复杂度，伯努利图灵机（Bernoulli-Turing machine，简称BTM）是确定性通用图灵机的一种扩展，可以计算离散随机序列。在运行过程中，伯努利图灵机按照常规图灵机的方式读取纸带上的符号和自身的当前状态，并依据内置的规则表进行操作。与普通图灵机不同的是，当遇到与随机相关的规则时，它会根据随机源产生的随机结果来决定具体的执行路径。例如，在某个状态下，图灵机可能有两种可选的操作，普通图灵机根据确定的规则选择其中一种，而伯努利图灵机则通过随机源以一定的概率来决定执行哪一种操作。<math>

</math>下，最小模型的复杂度，[[伯努利图灵机]]（Bernoulli-Turing machine，简称BTM）是确定性通用图灵机的一种扩展，可以计算离散随机序列。在运行过程中，伯努利图灵机按照常规图灵机的方式读取纸带上的符号和自身的当前状态，并依据内置的规则表进行操作。与普通图灵机不同的是，当遇到与随机相关的规则时，它会根据随机数发生器的采样结果来决定具体的执行路径。例如，在某个状态下，图灵机可能有两种可选的操作，普通图灵机根据确定的规则选择其中一种，而伯努利图灵机则通过随机源以一定的概率来决定执行哪一种操作。<math>

M_{\min }(x \mid \mathrm{BTM})

M_{\min }(x \mid \mathrm{BTM})

</math>这是在给定伯努利图灵机背景下的最小化模型<ref>C. H. Bennett. Dissipation, information, computational complexity, and the definition of organization. In D. Pines, editor, ''Emerging Syntheses in the Sciences''. Addison-Wesley,

</math>这是在给定伯努利图灵机背景下的最小化模型<ref>C. H. Bennett. Dissipation, information, computational complexity, and the definition of organization. In D. Pines, editor, ''Emerging Syntheses in the Sciences''. Addison-Wesley,

</math>的最简单形式，且在该模型中尽量减少其复杂性。<math>

</math>的最简单形式，且在该模型中尽量减少其复杂性。<math>

\left\|⋅\right\|

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</math>这个符号表示对模型复杂度的量化。由于内部模型作为一种图灵机，本身也是用字符串（因果态）来描述，所以可以用长度、香农熵等指标来度量内部模型的复杂度。当我们使用香农熵来刻画内部模型的复杂度时，我们可以给出对于观测序列来说，统计复杂度的一个可计算的定义：

</math>这个符号表示对模型复杂度的量化。由于内部模型作为一种图灵机，本身也是用字符串（因果态）来描述，所以可以用长度、香农熵等指标来度量内部模型的复杂度。当我们使用香农熵来刻画内部模型的复杂度时，我们可以给出对于观测序列来说，统计复杂度的一个可计算的定义<ref>J. P. Crutchfield and K. Young. Inferring statistical complexity.''Phys. Rev. Let''., 63:105–108,1989.</ref>：

<math>C_\mu(\mathcal{x})\equiv H[\mathcal{S}] </math>，其中<math>\mathcal{S} </math>为观测数据<math>\mathcal{x} </math>的因果态集合。

<math>C_\mu(\mathcal{x})\equiv H[\mathcal{S}] </math>，其中<math>\mathcal{S} </math>为观测数据<math>\mathcal{x} </math>的因果态集合。