更改

'''性质1（因果态具有最大预测性）'''：对于宏观态<math>\mathcal{∀R} </math>和正整数<math>L </math>，都有<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为长度为<math>L </math>的未来序列集合，所有可能的历史序列记作<math> \overleftarrow{S}</math>。<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的[[条件熵]]。可以理解为因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在所有的划分宏观态集合<math>\mathcal{R} </math>中，它的预测能力最强，证明过程如下：

'''性质1（因果态具有最大预测性）'''：对于宏观态<math>\mathcal{∀R} </math>和正整数<math>L </math>，都有<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为长度为<math>L </math>的未来序列集合，所有可能的历史序列记作<math> \overleftarrow{S}</math>。<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的[[条件熵]]。可以理解为因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在所有的划分宏观态集合<math>\mathcal{R} </math>中，它的预测能力最强，证明过程如下：

<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime})\} </math>

根据因果态的定义可知：<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime})\} </math>

<math>\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s} |\mathcal{S}=\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s}))=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}) </math>

上式等价于<math>\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s} |\mathcal{S}=\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s}))=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}) </math>

<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}]~=~H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|~\stackrel{\leftarrow}{S}] </math>

因为<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}]~=~H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|~\stackrel{\leftarrow}{S}] </math>，且<math>H[\stackrel{\to}{S}^L|\mathcal{R}] \geq H[\stackrel{\to}{S}^L|\stackrel{\leftarrow}{S}] </math>

所以<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>

 

<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>

'''性质2（因果态具有最小随机性）'''：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>为满足性质1中不等式等号成立的状态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>，都有<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻状态和下一时刻因果态。可以理解为在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在宏观态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小。

'''性质2（因果态具有最小随机性）'''：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>为满足性质1中不等式等号成立的状态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>，都有<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻状态和下一时刻因果态。可以理解为在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在宏观态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小。

=== '''统计复杂度''' ===

=== '''统计复杂度''' ===

智能体在构建和优化斑图重构机器的过程中，由于计算资源的限制，不能无限制地增加模型的大小。因此我们需要一个能够量化模型复杂度的指标，以便监控和调整模型的大小，确保模型能匹配已有的计算资源。在已有的众多复杂度量化指标中，柯氏复杂度是最符合我们要求的一个指标，[[柯式复杂度]][math]\displaystyle{ K(x) }[/math]是指在通用确定性[[图灵机]]（Universal Turing Machine，简称UTM）上运行时生成字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的最小程序长度。但它也有比较明显的两个问题，第一个问题是它的不可计算性，由于[[图灵机与计算问题|图灵停机]]问题的存在，我们无法构造一个通用算法来决定任意程序是否会在给定输入上停机。这意味着我们不能有效地判断哪些程序是最短的，因为没有方法可以保证找到最短程序的存在与否。由于没有通用的方法来验证或找到描述字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的最短程序，我们就无法计算柯氏复杂度。即使我们能够找到一个描述字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的程序，我们也无法保证它是最短的。为了确定程序是否为最短程序，我们需要检查所有可能的程序，而这一过程在计算上是不可行的。第二个问题是它可能无法度量程序的结构和动态特性，因为柯式复杂度[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]需要考虑字符串中的所有比特，包括随机状态生成的比特。若[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]中字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]大部分是由随机状态生成，这样会导致[math]\displaystyle{ x }[/math]的特征和重要结构被掩盖。

智能体在构建和优化斑图重构机器的过程中，由于计算资源的限制，不能无限制地增加模型的大小。因此我们需要一个能够量化模型复杂度的指标，以便监控和调整模型的大小，确保模型能匹配已有的计算资源。在已有的众多复杂度量化指标中，柯氏复杂度是最符合我们要求的一个指标，[[柯式复杂度]][math]\displaystyle{ K(x) }[/math]是指在通用确定性[[图灵机]]（Universal Turing Machine，简称UTM）上运行时生成字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的最小程序长度。

 

柯式复杂度有比较明显的两个问题，第一个问题是它的不可计算性，由于[[图灵机与计算问题|图灵停机]]问题的存在，我们无法构造一个通用算法来决定任意程序是否会在给定输入上停机。这意味着我们不能有效地判断哪些程序是最短的，因为没有方法可以保证找到最短程序的存在与否。由于没有通用的方法来验证或找到描述字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的最短程序，我们就无法计算柯氏复杂度。即使我们能够找到一个描述字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]的程序，我们也无法保证它是最短的。为了确定程序是否为最短程序，我们需要检查所有可能的程序，而这一过程在计算上是不可行的。第二个问题是它可能无法度量程序的结构和动态特性，因为柯式复杂度[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]需要考虑字符串中的所有比特，包括随机状态生成的比特。若[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]中字符串[math]\displaystyle{ x }[/math]大部分是由随机状态生成，这样会导致[math]\displaystyle{ x }[/math]的特征和重要结构被掩盖。

为了解决上文中柯式复杂度的两个明显问题，计算力学提出了统计复杂度[math]\displaystyle{ C_μ(x) }[/math]的概念，用来量化模型的复杂性，它可以反映[math]\displaystyle{ x }[/math]的结构和[[动态特性]]，以及能够计算出有效建模所需的计算资源。它的公式为

为了解决上文中柯式复杂度的两个明显问题，计算力学提出了统计复杂度[math]\displaystyle{ C_μ(x) }[/math]的概念，用来量化模型的复杂性，它可以反映[math]\displaystyle{ x }[/math]的结构和[[动态特性]]，以及能够计算出有效建模所需的计算资源。它的公式为

</math>的复杂性度量。它反映了在给定精度<math>

</math>的复杂性度量。它反映了在给定精度<math>

\mu

\mu

</math>下，最小模型的复杂度，[[伯努利图灵机]]（Bernoulli-Turing machine，简称BTM）是确定性通用图灵机的一种扩展，可以计算离散随机序列。在运行过程中，伯努利图灵机按照常规图灵机的方式读取纸带上的符号和自身的当前状态，并依据内置的规则表进行操作。与普通图灵机不同的是，当遇到与随机相关的规则时，它会根据随机数发生器的采样结果来决定具体的执行路径。例如，在某个状态下，图灵机可能有两种可选的操作，普通图灵机根据确定的规则选择其中一种，而伯努利图灵机则通过随机源以一定的概率来决定执行哪一种操作。<math>

</math>下，最小模型的复杂度，[[伯努利图灵机]]（Bernoulli-Turing machine，简称BTM）是确定性通用图灵机的一种扩展，通过引入随机数发生器，可以计算离散随机序列。它包含输入磁带、输出磁带、有限状态控制单元和工作磁带。输入（输出）磁带单元只能按顺序读取（写入）一次，中间处理和存储由工作磁带提供，工作磁带允许双向访问其内容。在运行过程中，伯努利图灵机按照常规图灵机的方式读取纸带上的符号和自身的当前状态，并依据内置的规则表进行操作。与普通图灵机不同的是，当遇到与随机相关的规则时，它会根据随机数发生器的采样结果来决定具体的执行路径。例如，在某个状态下，图灵机可能有两种可选的操作，普通图灵机根据确定的规则选择其中一种，而伯努利图灵机则通过随机源以一定的概率来决定执行哪一种操作。<math>

M_{\min }(x \mid \mathrm{BTM})

M_{\min }(x \mid \mathrm{BTM})

</math>这是在给定伯努利图灵机背景下的最小化模型<ref>C. H. Bennett. Dissipation, information, computational complexity, and the definition of organization. In D. Pines, editor, ''Emerging Syntheses in the Sciences''. Addison-Wesley,

</math>这是在给定伯努利图灵机背景下的最小化模型<ref>C. H. Bennett. Dissipation, information, computational complexity, and the definition of organization. In D. Pines, editor, ''Emerging Syntheses in the Sciences''. Addison-Wesley,

===模型重构===

===模型重构===

[[文件:层次机器示意图1.jpg|居中|无框|600x600像素|WU]]

[[文件:层次机器示意图1.jpg|居中|无框|600x600像素|WU]]