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[[文件:Left right threadable expression.png|缩略图|可线索化表达式]]
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==柯里化与路径表示法==
在函数式编程里，[[柯里化]]是一个基本的编程技巧，它把一个有多个参数的函数变成一串单参数的函数调用。我们对可线索化算术表达式可以应用这个技巧，由此得到如下的路径表示法。首先引入基本的操作数和操作子：
* 起始操作数: 语法树最左叶节点
* 加法操作子: <math>\oplus_y: x \mapsto x + y</math>
* 减法操作子: <math>\ominus_y: x \mapsto x - y</math>
* 乘法操作子: <math>\otimes_y: x \mapsto x \cdot e^y</math>
* 除法操作子: <math>\oslash_y: x \mapsto x \cdot e^{-y}</math>
例如 <math>(((((1 \times 2) \times 2) + 1) \times 3) + 6)</math> 可以被柯里化为 <math>\oplus_6(\otimes_{\ln 3}(\oplus_1(\otimes_{\ln 2}(\otimes_{\ln 2}(1)))))</math> 。
我们有一串操作子 <math>a_1, a_2, \cdots a_{n-1}, a_n</math>，我们引入如下'''路径表示法'''：<math>x a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n := a\_n( a_{n-1}( \cdots a_2( a_1(x) ) \cdots ) )</math>。
于是，上例可以用路径表示法表示为 <math>1 \otimes_{\ln 2} \otimes_{\ln 2} \oplus_1 \otimes_{\ln 3} \oplus_6 </math>。
容易证明，一条路径内部的各个操作子是满足[[结合律]]的；同时，对于两条路径，可以引入路径的拼接操作，解释为路径对应函数的复合。此时，同样可证结合律。由此，我们可以知道，一个路径的集合只要运算封闭，就有可能构成一个[[群胚]]。