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显然，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，我们需要一个尽可能不受尺度效应影响的[[因果效应度量]]。因此，我们需要对有效信息EI做一个归一化处理，得到和系统尺寸无关的一个量化指标。

显然，EI的大小和状态空间大小有关，这一性质在我们比较不同尺度的[[马尔科夫链]]的时候非常不方便，我们需要一个尽可能不受尺度效应影响的[[因果效应度量]]。因此，我们需要对有效信息EI做一个归一化处理，得到和系统尺寸无关的一个量化指标。

根据[[Erik Hoel]]和[[Tononi]]等人的工作，要用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量<ref name=hoel_2013 />。那么归一化后的EI便等于：

根据[[Erik Hoel]]和[[Tononi]]等人的工作，要用[[均匀分布]]即[[最大熵分布]]下的熵值，即<math>\log N</math>来做分母对EI进行归一化，这里的[math]N[/math]为状态空间[math]\mathcal{X}[/math]中的状态的数量<ref name="hoel_2013">{{cite journal|last1=Hoel|first1=Erik P.|last2=Albantakis|first2=L.|last3=Tononi|first3=G.|title=Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=110|issue=49|page=19790–19795|year=2013|url=https://doi.org/10.1073/pnas.1314922110}}</ref>。那么归一化后的EI便等于：

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这一项为简并性或叫退化性，为了防止其为负数，所以加上了[math]\log N[/math]<ref name=hoel_2013 />。这里的“简并性”的含义是：如果知道了系统的当前状态，能不能反推系统在上一时刻的状态的能力，如果可以推断，则这个马尔科夫矩阵的简并性就会比较低，也就是非简并的；而如果很难推断，则马尔科夫矩阵就是简并的，也即退化的。为什么“简并性”可以用平均行向量分布的负熵来刻画呢？这是因为，首先，当所有的P中的行向量都是彼此独立的独热向量，那么它们的平均分布就会非常接近于一个均匀分布，即[math]\bar{P}\approx (\frac{1}{N},\frac{1}{N},\cdots,\frac{1}{N})[/math]，这个时候，它的[[Shannon熵]]最大，即[math]\log N[/math]。而在此时，这个马尔科夫转移矩阵是一个'''可逆矩阵'''（由彼此独立的“独热”向量形成的全体彼此线性无关，因此矩阵满秩，因此是可逆的）。这也就意味着，我们从系统当前的状态，是可以推断出系统的上一时刻的状态的，所以这个马尔科夫转移矩阵是非简并的，计算出的简并度恰恰也为0；

这一项为简并性或叫退化性，为了防止其为负数，所以加上了[math]\log N[/math]<ref name="hoel_2013" />。这里的“简并性”的含义是：如果知道了系统的当前状态，能不能反推系统在上一时刻的状态的能力，如果可以推断，则这个马尔科夫矩阵的简并性就会比较低，也就是非简并的；而如果很难推断，则马尔科夫矩阵就是简并的，也即退化的。为什么“简并性”可以用平均行向量分布的负熵来刻画呢？这是因为，首先，当所有的P中的行向量都是彼此独立的独热向量，那么它们的平均分布就会非常接近于一个均匀分布，即[math]\bar{P}\approx (\frac{1}{N},\frac{1}{N},\cdots,\frac{1}{N})[/math]，这个时候，它的[[Shannon熵]]最大，即[math]\log N[/math]。而在此时，这个马尔科夫转移矩阵是一个'''可逆矩阵'''（由彼此独立的“独热”向量形成的全体彼此线性无关，因此矩阵满秩，因此是可逆的）。这也就意味着，我们从系统当前的状态，是可以推断出系统的上一时刻的状态的，所以这个马尔科夫转移矩阵是非简并的，计算出的简并度恰恰也为0；

其次，当P中的行向量都是相同的独热向量的时候，则平均向量也是一个独热的向量，而这种向量的[[熵]]是最小的。在此时，由于所有的上一时刻状态都会转移到行向量中1对应的状态，因此我们也就很难推断出当前这个状态是由哪一个上一步的状态转移过来的。因此，这种情形下的马尔科夫矩阵是简并的（或退化的），计算出来的简并度则恰恰是[math]\log N[/math]。

其次，当P中的行向量都是相同的独热向量的时候，则平均向量也是一个独热的向量，而这种向量的[[熵]]是最小的。在此时，由于所有的上一时刻状态都会转移到行向量中1对应的状态，因此我们也就很难推断出当前这个状态是由哪一个上一步的状态转移过来的。因此，这种情形下的马尔科夫矩阵是简并的（或退化的），计算出来的简并度则恰恰是[math]\log N[/math]。

对于更一般的情况，如果P中的行向量靠近一个彼此独立的独热行向量构成的矩阵，则P就越非简并，相反，如果行向量彼此相同且靠近同一个独热向量，则P就越简并。

对于更一般的情况，如果P中的行向量靠近一个彼此独立的独热行向量构成的矩阵，则P就越非简并，相反，如果行向量彼此相同且靠近同一个独热向量，则P就越简并。

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==Dynamical Reversibility 动力学可逆性==

==Dynamical Reversibility 动力学可逆性==

动力学可逆性相关详情请参照[[因果涌现]]词条。

动力学可逆性相关详情请参照[[因果涌现]]词条。

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=因果态=

=因果态=

[[文件:因果态的定义.jpg|居中|无框|400x400px|替代=]]

[[文件:因果态的定义.jpg|居中|无框|400x400px|替代=]]

如上图所示<ref name="crutchfield_1994"/>，左侧的数字代表<math>t</math>时刻的状态序列，右侧的箭头形状代表对未来状态预测的分布，可以观察到<math>t_9</math>和<math>t_{13}</math>时刻的箭头形状完全相同，说明它们对未来状态预测的分布相同，则处于相同的因果态；同样的道理，在<math>t_{11}</math>时刻，它的箭头形状与<math>t_9</math>和<math>t_{13}</math>时刻不同，则处于不同的因果态。

如上图所示<ref name="crutchfield_1994">{{cite journal |last1=Crutchfield |first1=James P. |title=The Calculi of Emergence: Computation, Dynamics, and Induction |journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |volume=75 |year=1994 |pages=11-54 |url=https://dl.acm.org/doi/10.1016/0167-2789%2894%2990273-9}}</ref>，左侧的数字代表<math>t</math>时刻的状态序列，右侧的箭头形状代表对未来状态预测的分布，可以观察到<math>t_9</math>和<math>t_{13}</math>时刻的箭头形状完全相同，说明它们对未来状态预测的分布相同，则处于相同的因果态；同样的道理，在<math>t_{11}</math>时刻，它的箭头形状与<math>t_9</math>和<math>t_{13}</math>时刻不同，则处于不同的因果态。

用[[互信息]]的角度去理解的话，上式等价于<math>I(\mathcal{S}^{\prime};\mathcal{S})\geq I(\hat{\mathcal{R}}^{\prime};\hat{\mathcal{R}}) </math>，可以理解为因果态为所有的与它自己的下一时刻的互信息中的最大的一个宏观态。

用[[互信息]]的角度去理解的话，上式等价于<math>I(\mathcal{S}^{\prime};\mathcal{S})\geq I(\hat{\mathcal{R}}^{\prime};\hat{\mathcal{R}}) </math>，可以理解为因果态为所有的与它自己的下一时刻的互信息中的最大的一个宏观态。

若想更深入的理解因果态的性质可以阅读Cosma Rohilla Shalizi 和James Crutchfield合写的一篇论文<ref name=":4"></ref>，里面有因果态更多的性质和对应的形式化证明过程。

若想更深入的理解因果态的性质可以阅读Cosma Rohilla Shalizi 和James Crutchfield合写的一篇论文<ref name=":shalizi2001">{{cite journal|last1=Shalizi |first1=C. R. |last2=Crutchfield |first2=J. P. |title=Computational Mechanics: Pattern and Prediction, Structure and Simplicity |journal=Journal of Statistical Physics |volume=104 |issue=3/4 |year=2001 |pages=817 - 879 |url=https://link.springer.com/article/10.1023/A:1010388907793}}</ref>，里面有因果态更多的性质和对应的形式化证明过程。

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