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第505行： − =测试量化因果涌现的效果= − ==布尔网络== − 下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。 − − 下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(c) 表示通过粗粒化(a)得到的新布尔网络，粗粒化策略是从 (f) 和 (i) 的 TPM 中提取的。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值，奇异频谱如图(e)所示，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math> − \Delta\Gamma=0.75 − </math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。(f) 和 (i) 分别是对 (d) 和 (g) 中的原始 TPM 应用粗粒化方法后缩减的TPM和投影矩阵。 − − 图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h)所示。我们选择<math> − \epsilon=0.2 − </math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math> − \Delta\Gamma(0.2)=0.69 − </math>。<math> − \epsilon − </math>值是根据图(h)中的奇异值频谱选择的，在图(h)中可以观察到指数为3和<math> − \epsilon=0.2 − </math>时有一个明显的分界点。 − − [[文件:截屏2024-08-27_14.58.17.png|替代=|740x740像素]] − − 下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。(a)为6节点12边的布尔网络模型。 (b)是根据(e)中的TPM得出的粗粒化后的布尔网络模型。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math> − \Delta\Gamma=2.23 − </math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。(e) 是对(c)的粗粒化。(f) 是根据基于 SVD 的粗粒化方法得到的从微观状态到宏观状态的投影矩阵。 − − [[文件:截屏2024-08-31_20.54.36.png|替代=|702x702像素]] − − ==复杂网络== − 对因果涌现的量化可应用于复杂网络，如下图所示。图（a)-(c）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图(a)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图(b)显示了其奇异值频谱，同图中还显示了另外两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。图(c) 是利用基于SVD的粗粒化方法进行缩减后的 (a) 网络。图(b)中，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math> − (\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5) − </math>。可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math> − \Delta\Gamma(0.3)=0.56 − </math>。 − − [[文件:截屏2024-08-31_21.01.3211.png|替代=|931x931像素]] − − ==元胞自动机== − 如下图所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。(a)是第40号元胞自动机的演化（规则是：000 → 0, 001 → 0, 010 → 1, 011 → 0, 100 → 1, 101 → 0, 110 → 0, 111 → 0）。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图(b) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图(c)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math> − \Delta\Gamma</math>）。 − − [[文件:截屏2024-08-30_10.05.1111.png|替代=|935x935像素]]
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=测试量化因果涌现的效果=
==布尔网络==
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(c) 表示通过粗粒化(a)得到的新布尔网络，粗粒化策略是从 (f) 和 (i) 的 TPM 中提取的。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值，奇异频谱如图(e)所示，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。(f) 和 (i) 分别是对 (d) 和 (g) 中的原始 TPM 应用粗粒化方法后缩减的TPM和投影矩阵。
图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h)所示。我们选择<math>
\epsilon=0.2
</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>
\Delta\Gamma(0.2)=0.69
</math>。<math>
\epsilon
</math>值是根据图(h)中的奇异值频谱选择的，在图(h)中可以观察到指数为3和<math>
\epsilon=0.2
</math>时有一个明显的分界点。
[[文件:截屏2024-08-27_14.58.17.png|替代=|740x740像素]]
下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。(a)为6节点12边的布尔网络模型。 (b)是根据(e)中的TPM得出的粗粒化后的布尔网络模型。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=2.23
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。(e) 是对(c)的粗粒化。(f) 是根据基于 SVD 的粗粒化方法得到的从微观状态到宏观状态的投影矩阵。
[[文件:截屏2024-08-31_20.54.36.png|替代=|702x702像素]]
==复杂网络==
对因果涌现的量化可应用于复杂网络，如下图所示。图（a)-(c）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图(a)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图(b)显示了其奇异值频谱，同图中还显示了另外两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。图(c) 是利用基于SVD的粗粒化方法进行缩减后的 (a) 网络。图(b)中，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
</math>。可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
</math>。
[[文件:截屏2024-08-31_21.01.3211.png|替代=|931x931像素]]
==元胞自动机==
如下图所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。(a)是第40号元胞自动机的演化（规则是：000 → 0, 001 → 0, 010 → 1, 011 → 0, 100 → 1, 101 → 0, 110 → 0, 111 → 0）。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图(b) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图(c)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma</math>）。
[[文件:截屏2024-08-30_10.05.1111.png|替代=|935x935像素]]
=拓展：高斯噪声迭代系统基于SVD分解的因果涌现=
=拓展：高斯噪声迭代系统基于SVD分解的因果涌现=
TPM矩阵上基于SVD的因果涌现虽然能得到不依赖粗粒化策略的因果涌现，但是也存在一个弊端，就是只能量化离散条件概率空间的因果效应强度和因果涌现。由于离散概率空间和连续概率空间具有本质的不同，对于连续条件概率空间的基于SVD的因果涌现，我们需要单独进行分析，代表性的就是高斯噪声迭代系统的基于SVD的因果涌现。
TPM矩阵上基于SVD的因果涌现虽然能得到不依赖粗粒化策略的因果涌现，但是也存在一个弊端，就是只能量化离散条件概率空间的因果效应强度和因果涌现。由于离散概率空间和连续概率空间具有本质的不同，对于连续条件概率空间的基于SVD的因果涌现，我们需要单独进行分析，代表性的就是高斯噪声迭代系统的基于SVD的因果涌现。
更精确的证明<math>\Gamma_\alpha</math>与<math>EI</math>可以相互替代。
更精确的证明<math>\Gamma_\alpha</math>与<math>EI</math>可以相互替代。
=参考文献=
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