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更精确的证明<math>\Gamma_\alpha</math>与<math>EI</math>可以相互替代。
更精确的证明<math>\Gamma_\alpha</math>与<math>EI</math>可以相互替代。
==高斯噪声迭代系统基于SVD的粗粒化策略==
在得到基于奇异值的因果涌现之后，和TPM矩阵类似，我们也可以根据逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>的奇异向量，指定在高斯迭代系统上的粗粒化策略，将高维的向量映射到低维空间。基于SVD的理论，我们可以知道，<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>都是对称矩阵，因此我们可以直接得到SVD分解
<blockquote>
<math>A^T\Sigma^{-1}A=USU^T
</math>
</blockquote>
和
<blockquote>
<math>\Sigma^{-1}&=VKV^T
</math>
</blockquote>
其中<math>S={\rm diag}(s_1,\cdots,s_n)</math>和<math>K={\rm diag}(\kappa_i,\cdots,\kappa_n)</math>分别是奇异值<math>s_1\geq\cdots\geq s_n</math>和<math>\kappa_1\geq\cdots\geq \kappa_n$</math>组成的对角矩阵，奇异向量矩阵<math>U=(u_1,\cdots,u_n)</math>和<math>V=(v_1,\cdots,v_n)</math>分别包含了两组奇异值对应的奇异向量，他们也可以分别看成两个生成空间的正交积。当我们得到<math>r_\epsilon</math>之后, 理论上我们就分别需要保留奇异值<math>s_1,\cdots,s_{r_\epsilon}</math>和<math>\kappa_1,\cdots, \kappa_{r_\epsilon}</math>，因此粗粒化映射<math>\phi(x_t)=Wx_t</math>中的参数矩阵<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>应他们对应的奇异向量尽量平行而不是正交。 我们可以根据有效秩，将奇异向量划分为
<blockquote>
<math>U=(U_1,U_2),U_1\in\mathcal{R}^{n\times r_\epsilon},U_2\in\mathcal{R}^{n\times (n-r_\epsilon)}
</math>
</blockquote>
和
<blockquote>
<math>V=(V_1,V_2),V_1\in\mathcal{R}^{n\times r_\epsilon},V_2\in\mathcal{R}^{n\times (n-r_\epsilon)}
</math>
</blockquote>
两部分，这样对于粗粒化策略的制定就变成了让<math>WU_1</math>,<math>WV_1</math>尽量接近单位矩阵,而让<math>WU_2</math>,<math>WV_2</math>尽量接近0。但是<math>U,V</math>并不是在所有系统重都能保证相等，所以我们就需要对两个矩阵的生成空间进行分类讨论。我们主要讨论两组生成空间
<blockquote>
<math>
\Omega_{{\rm I}}=\mathcal{M}(U_1)\cap\mathcal{M}(V_1),\Omega_{{\rm II}}=(\mathcal{M}(U_1)\cap\mathcal{M}(V_2))\cup(\mathcal{M}(U_2)\cap\mathcal{M}(V_1)).
</math>
</blockquote>
其中<math>\Omega_{{\rm I}}</math>对应<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间的交空间，若粗粒化策略的几个维度从该空间生成，那么该空间中的奇异向量对应的奇异值都会被保留，不存在冲突。而<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中的向量不与<math>U_2</math>和<math>V_2</math>正交，这意味着，在保留大于<math>\epsilon</math>的奇异值的同时，会有理论上应被舍弃的奇异值保留下来。由于<math>\Omega_{{\rm I}}</math>包含于<math>U_1</math>和<math>V_1</math>生成空间，所以他的维度可能会小于<math>r_\epsilon</math>，因此我们仍然需要从<math>\Omega_{{\rm II}}</math>中生成向量补全<math>W\in\mathcal{R}^{r_\epsilon\times n}</math>的维度。因此我们生成粗粒化策略的参数矩阵可以分为两步。
===协同粗粒化===
第一步，就是从<math>\Omega_{{\rm I}}</math>中生成可以同时保留大于<math>\epsilon</math>的奇异值，且不存在冲突的部分。
<blockquote>
<math>
\left(\begin{array}{c}
\mathscr{A} \\
\mathscr{B}
\end{array}\right)={\rm Schmidt}({\rm Null}(U_1,-V_1))\in\mathcal{R}^{2r_\epsilon\times r_I}
</math>
</blockquote>
=参考文献=
=参考文献=