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第98行： − + + + − 在贝当古模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示+ − + + + + + + + + + + + + − 进一步，假设每个层级之间的道路总长度的比[math]l_i/l_{i+1}[/math]，和道路宽度比值[math]s_i/s_{i+1}[/math]都是常数。而且这两个变量比值大小（可以记为[math]s_i/s_{i+1} = b_s[/math]和[math]l_i/l_{i+1} = b_l[/math]）也必定是和b有关。+ − 首先，假设最微观的道路宽度是和城市规模无关的，设为[math]s_h = s_*[/math]。那么，边界条件可以这么定义：最底层的道路肯定是要触达城市中的所有人群的，所以可以认为第h层的道路总面积[math]l_h s_*[/math]就是城市的面积，而因为宽度和规模无关，所以有[math]l_h \sim A \sim N^{2/3}[/math]，进而可以得到[math]b_l = b^{1/3}[/math]。那根据等比数列求和，最后我们可以得到道路总长度[math]L[/math]和规模的关系为:+ + + − L \sim N^{2/3}+ − 与此类似，+ − +
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贝当古城市模型是由2013年贝当古提出的<ref name=":0">Bettencourt, L. M. A. (2013). The origins of scaling in cities. Science, 340(6139), 1438–1441. https://doi.org/10.1126/science.1235823</ref>，用于解释城市规模标度律的机制模型。
贝当古城市模型是由2013年贝当古提出的<ref name=":0">Bettencourt, L. M. A. (2013). The origins of scaling in cities. Science, 340(6139), 1438–1441. https://doi.org/10.1126/science.1235823</ref>，用于解释城市规模标度律的机制模型。
== 城市中的规模标度律 ==
== 城市中的规模标度律 ==
城市的规模标度律是指城市的属性和城市规模存在[math]Y=cN^{\beta}[/math]的关系。按照幂指数[math]\beta[/math]的大小可以将城市的属性分成三类：与人的交互相关的属性和城市规模的超线性关系（幂指数约为1.15），如城市GDP，创新和财富的创造等；基础建设和城市规模的亚线性关系（幂指数约为0.85），如城市加油站的数量，道路的面积等；还有一类和家庭相关，和城市的规模是线性关系，如房屋的数量，用电量等等（如图1）。城市的规模标度律在许多数据集中都得到了验证，体现了在城市的多样性背后的统一性，暗示了城市动力学的普适机制<ref>Bettencourt, L. M. A., Lobo, J., Helbing, D., Kühnert, C., & West, G. B. (2007). Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 104(17), 7301–7306. https://doi.org/10.1073/pnas.0610172104</ref>。更加详细的内容可以参考[[城市中的规模标度律]]。
城市的规模标度律是指城市的属性和城市规模存在[math]Y=cN^{\beta}[/math]的关系。
[[文件:city_scaling.png|居中|替代=|400x400像素]]
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按照幂指数[math]\beta[/math]的大小可以将城市的属性分成三类：与人的交互相关的属性和城市规模的超线性关系（幂指数约为1.15），如城市GDP，创新和财富的创造等；基础建设和城市规模的亚线性关系（幂指数约为0.85），如城市加油站的数量，道路的面积等；还有一类和家庭相关，和城市的规模是线性关系，如房屋的数量，用电量等等（如图1）。城市的规模标度律在许多数据集中都得到了验证，体现了在城市的多样性背后的统一性，暗示了城市动力学的普适机制<ref>Bettencourt, L. M. A., Lobo, J., Helbing, D., Kühnert, C., & West, G. B. (2007). Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 104(17), 7301–7306. https://doi.org/10.1073/pnas.0610172104</ref>。更加详细的内容可以参考[[城市中的规模标度律]]。
[[文件:Summary scaling.png|居中|替代=|400x400像素]]
其实从实证中就可以发现一个重要的观察，基建相关的幂指数和社会产出相关的幂指数，二者的求和近似为2，这意味着人均基础设施[math]A_n[/math]和人均产出Y的乘积是一个规模无关的常数，即
[math]\frac{A_n}{N} \frac{Y}{N} = const = G[/math]
直觉上理解，这意味着城市的物理空间和交互空间存在着某种权衡，较多的社会互动，会在可用物理空间方面造成损失，反之亦然。贝当古则出于这一洞察，提出了一个城市规模法则起源的定量理论。
== 贝当古城市模型 ==
== 贝当古城市模型 ==
贝当古提出了一个在理论上统一的定量理论，用于解释城市标度律的起源。在贝当古21年出版的书中<ref>Bettencourt, L. (2021). Introduction to Urban Science.. https://doi.org/10.1126/science.1235823</ref>，他将其总结为以下四个步骤
贝当古提出了一个在理论上统一的定量理论，用于解释城市标度律的起源。在贝当古21年出版的书中<ref>Bettencourt, L. (2021). Introduction to Urban Science.. https://doi.org/10.1126/science.1235823</ref>，他将其总结为以下四个步骤
[[文件:Scaling city theory.png|居中|替代=|600x600像素]]
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下面，我们就来依次介绍这四个步骤。
下面，我们就来依次介绍这四个步骤。
'''假设1：人口充分混合。'''
'''假设1：人口充分混合。'''
要求每个城市居民可获取的最低资源[math]y_{min} = GN^2/A[/math]，与到达城市任何地方的成本相匹配。并且引入移动空间维数[math]H_m[\math]，即移动距离/成本和城市面积的关系为[math]c \sim A^{H_m/2}[\math]，也就是居民的移动范围定义了城市的面积，[math]H_m=1[\math]时其实就回退到了前面的版本
要求每个城市居民可获取的最低资源[math]y_{min} = GN^2/A[/math]，与到达城市任何地方的成本相匹配。并且引入移动空间维数[math]H_m[/math]，即移动距离/成本和城市面积的关系为[math]c \sim A^{H_m/2}[/math]，也就是居民的移动范围定义了城市的面积，[math]H_m=1[/math]时其实就回退到了前面的版本
所以同样根据收支平衡，可以得到城市面积和人口的关系[math]A \sim N^{\frac{2}{2+H_m}}[/math]
所以同样根据收支平衡，可以得到城市面积和人口的关系[math]A \sim N^{\frac{2}{2+H_m}}[/math]
'''假设2：网络增长。'''
'''假设2：网络增长。'''
这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，以满足每个人便捷出行的需求。引入道路面积[math]A_n[\math]
这一假设要求基础建设网络要随着人口的增加而增长，以满足每个人便捷出行的需求。引入道路面积[math]A_n[/math]
可以得到：
可以得到：
2. 假设网络的宽度是一个常数，所以平均距离d也正比于人均道路长度[math]A_n /N[/math]，最终可以得到[math]A_n \sim A^{1/2}N^{1/2}[/math]。
2. 假设网络的宽度是一个常数，所以平均距离d也正比于人均道路长度[math]A_n /N[/math]，最终可以得到[math]A_n \sim A^{1/2}N^{1/2}[/math]。
3. 最终可以得到道路面积和人口的关系 [math]A_n \sim N^{1-\frac{H_m}{2(2+H_m)}}[/math]。 当[math]H_m=1[\math]时，幂指数为5/6
3. 最终可以得到道路面积和人口的关系 [math]A_n \sim N^{1-\frac{H_m}{2(2+H_m)}}[/math]。 当[math]H_m=1[/math]时，幂指数为5/6
'''假设3：有限的人类社会能力。'''
'''假设3：有限的人类社会能力。'''
这一假设要求了在平均意义上，单位面积的交互带来的产出G，是不随城市规模变化的。即 [math]dG/dN = 0[\math]
这一假设要求了在平均意义上，单位面积的交互带来的产出G，是不随城市规模变化的。即 [math]dG/dN = 0[/math]
于是可以得到每个人的社会产出 [math]y = G N/A_n[\math]
于是可以得到每个人的社会产出 [math]y = G N/A_n[/math]
观察G的表达式发现，这约束实际上是对人均产出和人均道路面积（成本）乘积的限制。如果你的产出越高，那么你所需要的交互面积也就越小。所以可以认为，这一假设背后实际上是约束了社会的科技和生产力水平不变。可以想象，如果科技水平提高，那么一定会让G也增大。
观察G的表达式发现，这约束实际上是对人均产出和人均道路面积（成本）乘积的限制。如果你的产出越高，那么你所需要的交互面积也就越小。所以可以认为，这一假设背后实际上是约束了社会的科技和生产力水平不变。可以想象，如果科技水平提高，那么一定会让G也增大。
'''假设4：社会经济产出正比于局部社会交互。'''
'''假设4：社会经济产出正比于局部社会交互。'''
这条假设是说总产出是局部交互的加总，即[math]Y = ny = G \sim N^2 / A_n[\math]，当[math]H_m=1[\math]时，[math]A_n \sim N^{7/6}[\math]，其中[math]G \sim N^{\alpha}[\math]
这条假设是说总产出是局部交互的加总，即[math]Y = ny = G \sim N^2 / A_n[/math]，当[math]H_m=1[/math]时，[math]A_n \sim N^{7/6}[/math]，其中[math]G \sim N^{\alpha}[/math]
而新的指数也和开篇提到的实证数据相比非常吻合。下图分别展示了美国2006年的道路网络（左），GDP（右）和人口数量的关系。在双对数下斜率分别约为0.849和1.126：
而新的指数也和开篇提到的实证数据相比非常吻合。下图分别展示了美国2006年的道路网络（左），GDP（右）和人口数量的关系。在双对数下斜率分别约为0.849和1.126：
到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第三个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。
到目前为止，所谓的机制模型其实完全没有基建网络如何构建的细节，只有一些基本的宏观原则。所以，接下来的部分，就进入了贝当古模型的第三个模块，通过一个层级化的基建网络模型，目的是试图为城市规划等问题提供实质的理论指导。
=== 3. 层级模型 ===
=== 3. 层级网络模型 ===
在这一模型中，城市的道路网络被假设为是一个层级化的分形网络，下面我们来介绍其基本设置。
* 越底层的分支路面越窄。网络的每一层都对应着b个下一层的分支数。于是，整个道路网络就被构造成了一个规则的树状结构，分叉数为b，如下图所示
[[File:hierache_network.png|400px]]
[[File:hierache_network.png|400px]]
这棵树每一层的节点数量为[math]N_i = b^i[/math]。这里我们将最底层的节点定义为人口，也就是给出了边界条件[math]N_h = b^h = N[/math]。那么每一层的节点[math]N_i[/math]就可以理解为对应层级的道路可以覆盖的人口。而且根据当前的条件， 我们可以推出[math]h = lnN/lnb[/math]
这棵树每一层的节点数量为[math]N_i = b^i[/math]。将最底层的节点定义为人口，也就是给出了边界条件[math]N_h = b^h = N[/math]。那么每一层的节点[math]N_i[/math]就可以理解为对应层级的道路可以覆盖的人口。根据当前的条件， 我们可以推出[math]h = lnN/lnb[/math]
* 进一步，设置道路相关的物理量：尺度i上的单位段长度为[math]l_i[/math]，跨越的城市面积为[math]a_i[/math]，横向维度（即道路宽度）为s_i[/math]。
* 基础设施需要覆盖每一个人，也就是每个尺度的道路都是要面积填充的。即[math]N_ia_i = A_i[/math]
* 根据第二部分的假设1，我们可以类得到每个尺度的面积和基建单元的关系[math]N_ia_i = N_i^{2/3}[/math]，可以得到[math]a_i = b^{-i/3}[/math]
* 根据第二部分的假设2，由道路定义交互距离，根据交互特征长度[math]l = a_h/l_h[/math]，得到人均道路长度为[math]l_h \sim N^{-1/3}[/math]，随着城市规模的增大而减小。最终也可得到不同尺度的道路单元长度[math]l_i \sim b_i^{-1/3}[/math]
* 根据第二部分的假设2，依旧可以得到人均距离等于人均道路长度[math](A_i / N_i)^{1/2} = s_{i}l_i[/math]的关系。假设最微观的横向维度[math]s_*[/math]与规模无关。得到可以得到道路宽度的标度变化[math]s_{i} = s_{*}b^{5/6 (h-i)}[/math]
根据等比数列求和，最后我们可以得到道路总长度[math]L_n[/math]和道路总面积[math]A_n[/math]的表达式:
<math>
L_n = \sum_i^h l_iN_i \sim \sum_i^h b^{2i/3} = \frac{1-b^{2h/3}}{1-b^{2/3}} = \approx b^{2h/3 } = N^{2/3}
</math>
<math>
<math>
A_n = \sum_i^h a_{si}l_iN_i \sim \sum_i^h a_{s*}b^{\frac{5}{6} (h-i)} b^{-i/3} b^{i} = a_{s*}b^{\frac{5}{6} h} \sum_i^h b^{(-\frac{5}{6}+\frac{2}{3})i} \approx b^{\frac{5}{6} h} = N^{\frac{5}{6}}
</math>
</math>
技术收敛的条件也是满足的
== 城市效率评价 ==
=== 4. 城市能耗与城市效率评价 ===
最后，贝当古还根据这些基本的推论讨论了城市的运行效率问题。虽然城市的总产出和总的能量消耗满足相同的幂指数规模法则。然而，这并不意味着两者一定严格相等，事实上，由于它们的规模法则系数[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]可能取不同的数值，所以[math]Y[/math]和[math]W[/math]也可能不相等。我们尅定义城市运行效率E等于总产出与能量消耗的差额，即
最后，贝当古还根据这些基本的推论讨论了城市的运行效率问题。虽然城市的总产出和总的能量消耗满足相同的幂指数规模法则。然而，这并不意味着两者一定严格相等，事实上，由于它们的规模法则系数[math]Y_0[/math]和[math]W_0[/math]可能取不同的数值，所以[math]Y[/math]和[math]W[/math]也可能不相等。我们尅定义城市运行效率E等于总产出与能量消耗的差额，即