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为理解成块性(lumpability)的重要性，我们通过一个反例来揭示不满足成块性的粗粒化方案的缺陷。给定图中的马尔科夫链，我们尝试将状态{1,2}合并为宏观态<math>A</math>，{3,4}合并为<math>B</math>。

为理解成块性(lumpability)的重要性，我们通过一个反例来揭示不满足成块性的粗粒化方案的缺陷。给定图中的马尔科夫链，我们尝试将状态{1,2}合并为宏观态<math>A</math>，{3,4}合并为<math>B</math>。

[[文件:非一致性示例.png|居左|700像素|alt=图1：不满足一致性马尔科夫链示例]]

[[文件:非一致性示例.png|缩略图|图1：不满足一致性粗粒化示例|替代=|700像素|无]]

当我们构建粗粒化后的<math>2\times 2</math>宏观马尔科夫链<math>P'</math>时，分组A到分组B的概率应满足：'''从<math>A</math>中任一微观态出发，转移到<math>B</math>的总概率必须相同'''。首先，<math>P'</math>左上角的元素（组<math>A</math>到组<math>A</math>的概率）等于微观态1或微观态2转移到A的概率，都等于0.6。同理，右上角的元素（组<math>A</math>到组<math>B</math>的概率）等于0.4。

当我们构建粗粒化后的<math>2\times 2</math>宏观马尔科夫链<math>P'</math>时，分组A到分组B的概率应满足：'''从<math>A</math>中任一微观态出发，转移到<math>B</math>的总概率必须相同'''。首先，<math>P'</math>左上角的元素（组<math>A</math>到组<math>A</math>的概率）等于微观态1或微观态2转移到A的概率，都等于0.6。同理，右上角的元素（组<math>A</math>到组<math>B</math>的概率）等于0.4。

所以，我们需要一个能保证一致性的状态划分，并根据该划分定义对应的宏观动力学，来准确反映微观动力学在宏观上的映射。而成块性是一种针对划分的指标。当一个状态划分满足成块性时，它一定能保证宏观和微观动力学的一致性。而且，它还能保证动力学算子和粗粒化算子的可交换性，也就是说，无论我们是先做粗粒化再走宏观动力学，还是我们先走微观动力学再进行粗粒化，这两条路径，如图（1）所示，最终得到的结果都是一样的。

所以，我们需要一个能保证一致性的状态划分，并根据该划分定义对应的宏观动力学，来准确反映微观动力学在宏观上的映射。而成块性是一种针对划分的指标。当一个状态划分满足成块性时，它一定能保证宏观和微观动力学的一致性。而且，它还能保证动力学算子和粗粒化算子的可交换性，也就是说，无论我们是先做粗粒化再走宏观动力学，还是我们先走微观动力学再进行粗粒化，这两条路径，如图（1）所示，最终得到的结果都是一样的。

==最初定义==

==最初定义==

[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|居左|图3：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为成块的划分。也就是说，不是所有的简化过程都是成块的，即使他们的命名方式（lumped process和lumpable process）相似。

[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对成块的和不成块的矩阵做粗粒化|替代=|800x300像素|无]]不满足上述两个条件的，都不被定义为成块的划分。也就是说，不是所有的简化过程都是成块的，即使他们的命名方式（lumped process和lumpable process）相似。

从图（3）的成块划分的例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，成块的动力学TPM可以找到一个简化过程，而这个简化过程满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致。无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。

从图（3）的成块划分的例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，成块的动力学TPM可以找到一个简化过程，而这个简化过程满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致。无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。

例如，在下图中，<math>s_1</math>和<math>s_2</math>都属于<math>A_1</math>，它们到<math>A_1</math>和<math>A_1</math>的转移概率是一样的；同样，<math>s_3</math>和<math>s_4</math>都属于<math>A_2</math>，它们到宏观状态的转移概率也是一样的。因此，<math>[[1,2], [3, 4]]</math>是<math>P</math>的一个成块划分。

例如，在下图中，<math>s_1</math>和<math>s_2</math>都属于<math>A_1</math>，它们到<math>A_1</math>和<math>A_1</math>的转移概率是一样的；同样，<math>s_3</math>和<math>s_4</math>都属于<math>A_2</math>，它们到宏观状态的转移概率也是一样的。因此，<math>[[1,2], [3, 4]]</math>是<math>P</math>的一个成块划分。

[[文件:成块性充分必要条件.png|居中|700像素|成块性充分必要条件实例]]

[[文件:成块性充分必要条件.png|缩略图|图4：成块性充分必要条件实例|替代=|700像素|无]]

===成块划分和粗粒化的可交换性===

===成块划分和粗粒化的可交换性===

[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|替代=|缩略图|图5：粗粒化图例]]

[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|缩略图|图5：粗粒化图例|替代=|500像素|无]]

图（5）展示了从某个微观状态<math>s^{(t)}</math>出发，到达下一刻的宏观状态<math>A^{(t+1)}</math>的两条路径<ref name=":7">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

图（5）展示了从某个微观状态<math>s^{(t)}</math>出发，到达下一刻的宏观状态<math>A^{(t+1)}</math>的两条路径<ref name=":7">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：

我们通过一个简单的成块划分例子来展示成块性的粗粒化与HOM是对应的。

我们通过一个简单的成块划分例子来展示成块性的粗粒化与HOM是对应的。

[[文件:Lumpability例子示意图.png|缩略图|图6：例子示意图|替代=]]

[[文件:Lumpability例子示意图.png|缩略图|图6：例子示意图|替代=|500像素|无]]

<math>

<math>

[[文件:HOM示例.png|411x411像素|缩略图|图7：HOM节点边权合并示意图|替代=]]

[[文件:HOM示例.png|缩略图|图7：HOM节点边权合并示意图|替代=|500像素|无]]

然后，我们简单介绍[[网络归并]]构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。

然后，我们简单介绍[[网络归并]]构建宏观HOM转移概率矩阵的计算方法。

===基于成块性的粗粒化方法（未给定成块的划分的情况）===

===基于成块性的粗粒化方法（未给定成块的划分的情况）===

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图8：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]

[[文件:Lump fig1.png|缩略图|图8：Zhang<ref name=":4" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是成块的马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=|500像素|无]]

然而，在实际应用中，我们经常遇到的矩阵可能并不完美。例如，成块的矩阵的状态排序可能被打乱（如图（8）中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图（8）中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。

然而，在实际应用中，我们经常遇到的矩阵可能并不完美。例如，成块的矩阵的状态排序可能被打乱（如图（8）中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图（8）中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。